Um átomo de Hidrogênio no estado fundamental é submetido a um campo magnético B_{z}=0,55 \mathrm{~T}. (a) Calcule o desdobramento dos estados de spin. (b) Qual dos estados tem maior energia? (c) Qual a frequência da radiação necessária para excitar o átomo do estado de spin de menor energia para o de maior energia? Em que região do espectro eletromágnetico está esta radiação? (d) Seria possível observar experimentalmente esse desdobramento, com um único átomo? Explique. Como poderia observar experimentalmente esse desdobramento?
(a) Explique de forma qualitativa e quantitativa o príncipio de exclusão de Pauli e suas consequências. (b) Nos átomos polieletrônicos os elétrons são partículas idênticas de spin 1 / 2. Explique quais são as consequências deste fato nas propriedades atômicas.
Considere um sistema de 2 elétrons não interagentes em seus estados fundamentais em um poço unidimensional de potencial infinito. (a) Faça um gráfico esquemático das partículas ocupando os níveis energéticos, com seus respetivos números quânticos. (b) Encontre a autofunção para o sistema no estado fundamental. Essa autofunção cumpre o príncipio da indistinguibilidade? (c) Qual é a energia do sistema para esse estado? Qual é a energia de cada partícula individual. (c) Quê sucede quando um campo magnético \vec{B} é aplicado? Grafique agora os níveis energéticos e encontre a nova autofunção. (d) Para este último caso, calcule a energia do sistema. Qual é a energia de cada partícula individual.
Considere um sistema de 3 elétrons não interagentes em seus estados fundamentais em um poço unidimensional de potencial infinito. (a) Faça um gráfico esquemático das partículas ocupando os níveis energéticos. (b) Encontre a função de onda
para o sistema no estado fundamental. (c) Que sucede quando um campo magnético é aplicado? Grafique os níveis energéticos e encontre a nova função de onda.
Escreva as equações de autovalores da mecânica quântica para: i) o momento angular orbital, ii) o momento angular de spin e iii) o oscilador harmônico simples. Explique o que elas significam, e dei um exemplo de como posso aplicar essas equações.
Passo 1
Vou listar claramente o que cada item pede e os dados que temos (sem resolver nada ainda).
Questão 6: Um átomo de hidrogênio no estado fundamental é submetido a um campo magnético B_{z}=0,55\\ \mathrm{T}.
(a) Calcular o desdobramento (energia) dos estados de spin.
(b) Determinar qual estado tem maior energia.
(c) Calcular a frequência da radiação necessária para excitar do estado de menor energia para o de maior energia e identificar a região do espectro.
(d) Discutir se é possível observar experimentalmente esse desdobramento com um único átomo e como observar experimentalmente.
Dados úteis que vou usar (constantes físicas): \mu_{B}=\dfrac{e\hbar}{2m_{e}}=9{,}274\times10^{-24}\\ \mathrm{J/T} (magneton de Bohr), g_{s}\approx2 (fator giromagnético do elétron), h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
Questão 7:
(a) Explicar qualitativa e quantitativamente o princípio de exclusão de Pauli e suas consequências.
(b) Explicar as consequências do fato de elétrons serem partículas idênticas de spin 1/2 para propriedades atômicas.
Questão 8: Sistema de 2 elétrons não interagentes em um poço unidimensional infinito.
(a) Fazer gráfico esquemático de ocupação dos níveis com números quânticos.
(b) Encontrar a autofunção do sistema no estado fundamental e verificar indistinguibilidade.
(c) Calcular a energia total do sistema e a energia de cada partícula.
(d) Aplicar um campo magnético \vec{B}: desenhar níveis com Zeeman, obter nova autofunção e calcular energias.
Fórmula que usarei: energia de uma partícula no poço de comprimento L:
Questão 9: Sistema de 3 elétrons não interagentes no mesmo poço.
(a) Gráfico esquemático de ocupação.
(b) Encontrar função de onda do sistema no estado fundamental.
(c) Efeito de um campo magnético: níveis e nova função de onda.
Questão 10: Escrever as equações de autovalores para:
(i) momento angular orbital \vec{L},
(ii) momento angular de spin \vec{S},
(iii) oscilador harmônico simples.
Explicar o significado e dar um exemplo aplicável.
Passo 2
Vou começar a resolver a Questão 6 passo a passo. Primeiro, física básica do efeito Zeeman para o spin do elétron.
Conceito: o momento magnético do elétron devido ao spin é
\vec{\mu}=-g_{s}\mu_{B}\dfrac{\vec{S}}{\hbar},
onde \vec{S} é o operador de spin e g_{s} é o fator giromagnético do elétron. Para um estado próprio de S_{z} com autovalor m_{s}\hbar (com m_{s}=\pm\tfrac{1}{2}), o componente \mu_{z} vale
\mu_{z}=-g_{s}\mu_{B}m_{s}.
A energia de interação com um campo magnético uniforme \vec{B}=B_{z}\hat{z} é
Responder a parte (b): qual estado tem maior energia?
Usando a fórmula E=g_{s}\mu_{B}m_{s}B_{z}, quando m_{s}=+\tfrac{1}{2} obtém-se E_{+}>0 e para m_{s}=-\tfrac{1}{2} obtém-se E_{-}<0. Portanto o estado com m_{s}=+\tfrac{1}{2} tem maior energia e o estado com m_{s}=-\tfrac{1}{2} tem menor energia (para B_{z}>0). Esta conclusão vem diretamente do sinal em m_{s}.
Passo 5
Responder a parte (c): frequência da radiação necessária para excitar do estado de menor para o de maior energia e região do espectro.
A relação entre energia e frequência é \Delta E=h\nu. Assim
Essa frequência é aproximadamente 1{,}5\times10^{10}\\ \mathrm{Hz}, ou seja cerca de 15{,}4\\ \mathrm{GHz}.
Região do espectro: essa frequência está na faixa de micro-ondas (banda de rádio/micro-ondas), não no infravermelho ou óptico.
Passo 6
Responder a parte (d): observabilidade do desdobramento com um único átomo e como observá-lo.
Observação conceitual: o desdobramento existe independentemente do número de átomos; porém detectá-lo experimentalmente exige medir a diferença de energia ou separar espacialmente estados de spin.
Com UM átomo livre e sem técnicas especiais, é muito difícil medir diretamente a diferença porque:
a energia é muito pequena (\Delta E\sim10^{-23}\\ \mathrm{J}), equivalente a fótons de micro-ondas; a emissão espontânea por transição de spin é extremamente lenta e a taxa de relaxação é baixa;
ruído térmico e flutuações podem mascarar a transição se o átomo não estiver bem isolado.
Como observar experimentalmente (métodos práticos):
Stern–Gerlach: usar um campo magnético não uniforme para separar trajetórias de átomos com spin diferente. Isso demonstra o desdobramento espacial de estados de spin mesmo para átomos individualmente detectáveis (contadores de átomos). É um método direto para ver que há dois estados de spin.
Espectroscopia de ressonância (ESR / EPR): aplicar micro-ondas na frequência \nu=\Delta E/h e detectar absorção/resposta coletiva. Para um único átomo, usar armadilhas (traps) e técnicas de detecção de estado (por exemplo, íons aprisionados e espectroscopia por saltos quânticos) permite medir a transição de spin de um único elétron com alta precisão.
Técnicas modernas: um único íon aprisionado em armadilha eletromagnética com detecção de fluorescência permite preparar e ler o estado de spin e excitar a transição com micro-ondas — portanto é possível observar o desdobramento em um único átomo (ou íon) usando instrumentos de alto controle.
Resumo prático: é possível observar experimentalmente o desdobramento para um único átomo, mas exige armadilhas e técnicas de detecção de estado; para átomos livres é mais comum observar com feixes (Stern–Gerlach) ou com muitos átomos via espectroscopia ESR.
Passo 7
Agora vou resolver a Questão 7: princípio de exclusão de Pauli (explicação detalhada e quantitativa).
Enunciado do princípio (qualitativo): dois férmions idênticos (por exemplo elétrons) não podem ocupar simultaneamente o mesmo estado quântico completo. Em termos práticos, em um átomo não podem existir dois elétrons com todos os números quânticos iguais.
Justificação quântica (quantitativa, conceito de simetria):
Partículas idênticas exigem que o estado total (função de onda) seja simétrico ou antissimétrico sob troca de partículas.
Para férmions (spin semi-inteiro) a regra de quantização estatística impõe que a função de onda total mude de sinal sob a troca de duas partículas:
Se tentarmos colocar dois elétrons no mesmo estado único (mesma órbita espacial e mesmo spin), então a troca não altera a função; a igualdade \Psi=-\Psi implica \Psi=0. Isso é fisicamente impossível, logo é proibido.
Uma maneira construtiva de garantir antissimetria é usar o determinante de Slater: para N elétrons com órbitais-espín \varphi_{1},\varphi_{2},\dots,\varphi_{N},
onde \xi denota posição e spin. Se duas colunas são iguais (dois férmions no mesmo spin-órbita), o determinante é zero — isso reproduz Pauli.
Consequências práticas:
Estrutura eletrônica dos átomos: os elétrons preenchem orbitais discretos em ordem crescente de energia (princípio de Aufbau) obedecendo Pauli — por isso surgem camadas e subcamadas e a tabela periódica.
Propriedades magnéticas e multiplicidade: configuração de spins (singlet, triplet) segue de combinação espacial e de spin que respeita antissimetria.
Estabilidade da matéria: exclusão de Pauli impede que todos os elétrons colapsem para o mesmo estado mais baixo, dando volume e pressão degenerada (importante em sólidos, estrelas anãs-brancas, etc.)
Efeito nas propriedades atômicas: níveis degenerados são preenchidos com electron spins distintos; efeitos de troca e energia de troca influenciam ligações químicas e espectros.]
Passo 8
Questão 7(b): consequências específicas do fato de elétrons serem partículas idênticas de spin 1/2.
Estrutura do estado total: a função de onda total de dois elétrons se escreve como produto (ou combinação) da parte espacial \Psi_{\text{spatial}} e da parte de spin \chi_{\text{spin}}. A antissimetria total implica:
Se \Psi_{\text{spatial}} é simétrica sob troca, então \chi_{\text{spin}} deve ser antissimétrica (singlet de spin).
Se \Psi_{\text{spatial}} é antissimétrica, então \chi_{\text{spin}} deve ser simétrica (triplet de spin).
Exemplos:
Estado singlete (antissimétrico em spin):
\chi_{S=0}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big(\alpha(1)\beta(2)-\beta(1)\alpha(2)\big),que é antissimétrico. Então a parte espacial deve ser simétrica.
Estados triplet (simétricos em spin) têm três componentes e exigem parte espacial antissimétrica.
Consequências atômicas:
Configurações de termodinâmica e espectroscopia (Níveis com multiplicidade 2S+1, regras de seleção).
Para átomos polieletrônicos, estrutura fina, regras de Hund e emparelhamento de spins nas subcamadas.
Passo 9
Agora a Questão 8 (sistema de 2 elétrons no poço infinito). Vou detalhar cada item.
(a) Gráfico esquemático de ocupação:
Nível n=1: pode acomodar no máximo 2 elétrons (spin \uparrow e \downarrow).
No estado fundamental de 2 elétrons, ambos ocupam n=1 com spins opostos.
(Esquematicamente: uma caixa para n=1 com duas setas + e −; n=2 vazia.)
(b) Autofunção do sistema no estado fundamental:
Escrever as spin-órbitas (produto de espacial e spin). Para o orbital n=1:
Observe que a parte espacial é \phi_{1}(x_{1})\phi_{1}(x_{2}) multiplicada por uma combinação de spins antissimétrica; portanto a função total é antissimétrica sob troca de \xi_{1}\leftrightarrow\xi_{2}. Assim satisfaz o princípio da indistinguibilidade para férmions.
(c) Energia do sistema no estado fundamental:
Para partículas não interagentes, a energia total é soma das energias individuais.
Portanto a energia total permanece 2E_{1} (aos termos de Zeeman lineares) e a função de onda continua sendo o determinante escrito no item (b) — isto é, ocupação n=1 com spins opostos continua sendo a configuração de menor energia para pequenas B. Caso se considere somente os deslocamentos de spin, o estado permanece não degenerado e anti-simétrico conforme escrito.
Se B for suficientemente grande e houver outros efeitos (interações, termal), pode haver rearranjos, mas para elétrons não interagentes e níveis fixos, a configuração mínima conserva-se.]
Passo 10
Questão 9 (3 elétrons no poço infinito). Procedimento análogo, com números:
(a) Ocupação no estado fundamental (obedece Pauli): os dois primeiros elétrons ocupam n=1 (spin \uparrow,\downarrow), o terceiro ocupa n=2 (qualquer spin, escolha que minimize energia); esquematicamente:
n=1: duas setas (↑, ↓)
n=2: uma seta (↑ ou ↓)
n\ge3: vazios.
(b) Função de onda do sistema no estado fundamental:
Tomar as spin-órbitas ocupadas, por exemplo \varphi_{1\alpha},\varphi_{1\beta},\varphi_{2\alpha} (ou \varphi_{2\beta} dependendo do spin do terceiro).
A função total é o determinante de Slater de ordem 3:
Isto garante antissimetria sob troca de quaisquer partículas, portanto indistinguibilidade está satisfeita.
(c) Efeito de um campo magnético:
Cada spin-órbita sofre deslocamento Zeeman g_{s}\mu_{B}m_{s}B_{z}. Para minimizar energia, os spins ocuparão as spin-órbitas de menor energia disponível respeitando Pauli (isto é, primeiro preencher o nível de energia espacial mais baixo com o spin que tem menor energia Zeeman e assim por diante).
Se tomarmos B_{z}>0 e lembrando que E=g_{s}\mu_{B}m_{s}B_{z}, o menor E corresponde a m_{s}=-\tfrac{1}{2} (pois dá contribuição negativa). Assim a configuração de menor energia tende a preferir spins -\tfrac{1}{2} quando possível.
Graficamente: cada nível n se divide em duas sublinhas correspondentes a m_{s}=\pm\tfrac{1}{2}, separadas por \Delta E_{\text{Zeeman}}=g_{s}\mu_{B}B. A ocupação no mínimo será: n=1 com um \uparrow e um \downarrow (se ambos necessários), e n=2 com spin que minimize a soma das energias (normalmente m_{s}=-\tfrac{1}{2} se este for o menor). A função de onda continuará sendo o determinante com as spin-órbitas ocupadas escolhidas.]
Passo 11
Questão 10: equações de autovalores e explicações.
Significado: L^{2} dá a magnitude ao quadrado do momento angular orbital e L_{z} dá a componente z. Os números quânticos l e m definem orientações e magnitudes permitidas.
Exemplo de aplicação: no átomo de hidrogênio, os orbitais com l=0,1,2 correspondem a s, p, d, e as energias (sem spin e sem campos externos) dependem de n, mas a degenerescência vertical é explicada pelos l-valores e pelos operadores L^{2}, L_{z}.
Significado: níveis igualmente espaçados por \hbar\omega; n é o número quântico de excitação.
Exemplo prático: modelos aproximados de vibração molecular; desde o nível fundamental E_{0}=\tfrac{1}{2}\hbar\omega até excitados E_{1},E_{2},\dots. As autofunções em posição são expressas em termos de polinômios de Hermite multiplicados por uma gaussiana.
Passo 12
Breves observações pedagógicas finais e encorajamento (curto e motivador):
Resumindo: para o problema de Zeeman (questão 6) o cálculo é direto usando \mu_{B} e g_{s}; para as questões sobre elétrons em poço infinito, o aspecto essencial é aplicação do princípio de Pauli e construção via determinante de Slater; para angular e oscilador, as equações de autovalores fornecem os possíveis valores experimentais medidos.
Está indo bem! Se quiser, eu repito qualquer passo com cálculo numérico mais detalhado (por exemplo mais casas decimais) ou desenho esquemático dos níveis para 8 e 9.
Resposta
6(a) E_{+}=+5{,}1007\times10^{-24}\\ \mathrm{J},\quad E_{-}=-5{,}1007\times10^{-24}\\ \mathrm{J}. A separação \Delta E=1{,}02014\times10^{-23}\\ \mathrm{J}\approx6{,}37\times10^{-5}\\ \mathrm{eV}.
6(b) O estado com m_{s}=+\tfrac{1}{2} tem maior energia.
6(c) \nu=\dfrac{\Delta E}{h}\approx1{,}54\times10^{10}\\ \mathrm{Hz} (micro-ondas, \sim15{,}4\\ \mathrm{GHz}).
6(d) Sim, é possível observar; experimentalmente usa-se Stern–Gerlach para separação espacial ou espectroscopia de ressonância (ESR/EPR) — para um único átomo é necessário aprisionamento (trap) e detecção por salto quântico ou técnicas de espectroscopia de micro-ondas em íons/átomos aprisionados.
7(a) Princípio de Pauli: função de onda total de férmions é antissimétrica sob troca; formulado quantitativamente através de \Psi(\dots i\dots j\dots)=-\Psi(\dots j\dots i\dots); consequência prática: não há dois elétrons com todos os mesmos números quânticos; constrói-se estados via determinante de Slater; consequências incluem estrutura de camadas, regra de Aufbau, estabilidade da matéria e efeitos de troca.
7(b) Por serem elétrons idênticos com s=\tfrac{1}{2}, a parte total do estado deve ser antissimétrica; isto impõe correlações entre parte espacial e de spin (singlet vs triplet), determina multiplicidades 2S+1, regras de Hund e a organização eletrônica que explica propriedades atômicas e químicas.
8(a) Ocupação: ambos os elétrons em n=1 com spins opostos.
8(b) \Psi(\xi_{1},\xi_{2})=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big(\phi_{1}(x_{1})\alpha(1)\phi_{1}(x_{2})\beta(2)-\phi_{1}(x_{1})\beta(1)\phi_{1}(x_{2})\alpha(2)\big), onde \phi_{1}(x)=\sqrt{2/L}\sin(\pi x/L). Sim, é antissimétrica (indistinguibilidade cumprida).
8(c) E_{\text{total}}=2E_{1}=\dfrac{\pi^{2}\hbar^{2}}{mL^{2}}. Energia individual de cada partícula E_{1}=\dfrac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}.
8(d) Com \vec{B} há separação Zeeman de spin; para a configuração n=1 com spins opostos as contribuições Zeeman se cancelam e a energia total (somando efeito Zeeman linear) permanece 2E_{1}; a autofunção continua sendo o determinante escrito em (b).
9(a) Ocupação fundamental: n=1 com dois elétrons (↑,↓) e n=2 com um elétron.
9(b) Função total é o determinante de Slater de três spin-órbitas ocupadas (por exemplo \varphi_{1\alpha},\varphi_{1\beta},\varphi_{2\alpha}), garantindo antissimetria.
9(c) Com campo \vec{B} cada subnível se divide em duas sublinhas de spin; os spins ocuparão as spin-órbitas de menor energia conforme Pauli (preferindo m_{s}=-\tfrac{1}{2} se essa for energeticamente mais baixa), e a função de onda será o determinante com as spin-órbitas escolhidas.
10(i) L^{2}|l,m\rangle=\hbar^{2}l(l+1)|l,m\rangle,\quad L_{z}|l,m\rangle=\hbar m|l,m\rangle.
10(ii) S^{2}|s,m_{s}\rangle=\hbar^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle,\quad S_{z}|s,m_{s}\rangle=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle.
10(iii) H|n\rangle=E_{n}|n\rangle com E_{n}=\hbar\omega\big(n+\tfrac{1}{2}\big) para o oscilador harmônico. Exemplos: usar (i) para quantizar orbitais atômicos, (ii) para transições de spin (Zeeman/ESR), (iii) para vibrações moleculares e níveis igualmente espaçados.