- (a) O quê é o Spin do átomo. Porquê o Spin não aparece na equação de Schrödinger.
(b) Escreva a função de onda para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos [autofunção
].
(c) Escreva as 3 equações de autovalores que são deduzidas a partir da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio [especifique de forma geral os números quânticos nessas equações].
(d) Calcular o valor esperado do operador
[use uma equação de autovalor para simplificar os cálculos].
(e) Escreva as equações de autovalor para o Spin, as quais podem ser estendidas a partir das equações de autovalores escritas em (c). (f) Desconsiderando o spin, monte a função de onda que descreve a transição entre
e
, para o átomo de Hidrogênio.
(b) Escreva a função de onda para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos [autofunção
(c) Escreva as 3 equações de autovalores que são deduzidas a partir da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio [especifique de forma geral os números quânticos nessas equações].
(d) Calcular o valor esperado do operador
(e) Escreva as equações de autovalor para o Spin, as quais podem ser estendidas a partir das equações de autovalores escritas em (c). (f) Desconsiderando o spin, monte a função de onda que descreve a transição entre
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado pede e quais entregas você precisa ver no final. O exercício tem seis partes (a)–(f). Vou listar cada uma delas e o que é pedido, sem resolver ainda:
(a) O que é o Spin do átomo. Por que o Spin não aparece na equação de Schrödinger.
(b) Escrever a função de onda para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos (autofunção ).
(c) Escrever as 3 equações de autovalores que se deduzem a partir da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio, especificando os números quânticos de forma geral.
(d) Calcular o valor esperado do operador (usar uma equação de autovalor para simplificar).
(e) Escrever as equações de autovalor para o Spin, que estendem as equações do item (c).
(f) Desconsiderando o spin, montar a função de onda que descreve a transição entre e
para o átomo de Hidrogênio.
(b) Escrever a função de onda para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos (autofunção
(c) Escrever as 3 equações de autovalores que se deduzem a partir da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio, especificando os números quânticos de forma geral.
(d) Calcular o valor esperado do operador
(e) Escrever as equações de autovalor para o Spin, que estendem as equações do item (c).
(f) Desconsiderando o spin, montar a função de onda que descreve a transição entre
Informações implícitas que vamos usar (não foi preciso pedir nada adicional): propriedades padrão do elétron (spin
), estrutura das soluções do átomo de Hidrogênio (separação radial/angulares), constantes físicas como a constante de Bohr
, e que a equação de Schrödinger não é relativística. Agora começo a desenvolver passo a passo cada item, com explicações didáticas.
Passo 2
(a) O que é o Spin — explicação didática e informal.
-
Ideia física (intuição): o Spin é uma propriedade intrínseca das partículas (como o elétron) que se comporta como um momento angular “interno”. Não é literalmente uma partícula girando no espaço clássico, é um grau de liberdade quântico próprio. Ele dá origem a quantidades observáveis como o momento angular intrínseco e o momento magnético do elétron (por isso o Spin aparece em interações magnéticas).
-
Características quantizadas: para uma partícula com spin
existem valores possíveis da componente . Para o elétron, e os valores possíveis de são e . -
Representação matemática: o Spin é descrito por operadores
que satisfazem as mesmas relações de comutação do momento angular orbital . Os autovalores são dados por
onde
é a função de spin (spinor) e
são os números quânticos do spin.
Por que o Spin não aparece na equação de Schrödinger (não-relativística) simples:
-
A equação de Schrödinger não-relativística para uma partícula independente descreve apenas coordenadas espaciais e momento canônico. Ela foi formulada sem levar em conta efeitos relativísticos que originam o Spin. Por isso a versão escalar da equação de Schrödinger tem funções de onda escalares
e não contém termos que atuem sobre a parte de spin. -
O spin surge de uma teoria relativística mais refinada: a equação de Dirac (relativística) prevê naturalmente o Spin do elétron e mostra porque o Spin existe. Em aproximações não-relativísticas, o Spin pode ser introduzido “à mão” transformando a função de onda em um spinor (componentes de spin) e usando a equação de Pauli, que acrescenta a interação spin-órbita e o acoplamento magnético com campos externos. Em palavras: a equação de Schrödinger escalar é suficiente para energias e situações sem acoplamentos magnéticos finos; para incorporar Spin e efeitos magnéticos é preciso a versão com spin (Pauli) ou a relativística (Dirac).
Resumo prático (útil para prova): a equação de Schrödinger padrão não contém Spin porque é uma equação escalar e não leva em conta efeitos relativísticos; o Spin é introduzido como um grau de liberdade adicional (spinor) e tratado por Pauli/Dirac quando necessário.
Passo 3
(b) Escrever a função de onda do estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos.
Primeiro, lembrar a estrutura geral das autofunções do Hidrogênio (separação de variáveis):
onde
-
é o número quântico principal: ; -
é o número quântico azimutal: ; -
é o número quântico magnético: ; -
é a parte radial normalizada; -
são harmônicos esféricos normalizados.
O estado fundamental é
. A função de onda espacial desse estado é (forma usual e normalizada):
onde
é a constante de Bohr.
Agora incluir o spin: a função de onda total do elétron deve conter a parte espacial e a parte de spin. Uma notação com quatro índices pedida
pode ser interpretada como
. Então o estado fundamental completo (espaço
spin) é
onde
é o spinor do elétron com
ou
. Em componentes:
Observação prática: se o enunciado pedir apenas a parte espacial do estado fundamental, use
. Se quiser o índice extra para o spin, escreva
.
Passo 4
(c) As 3 equações de autovalores deduzidas da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio — apresentação explícita e explicação das quantizações.
- Equação de energia (autovalor do Hamiltoniano):
Aqui
é o Hamiltoniano do elétron no potencial Coulomb do próton:
onde
é a massa reduzida do sistema elétron-próton (na prática para o hidrogênio simples pode-se usar
). O autovalor depende apenas de
:
ou, numericamente em elétron-volts,
Explicação: a separação de variáveis leva a energias quantizadas dependendo só de
.
- Equação de autovalor para o quadrado do momento angular orbital:
com
.
- Equação de autovalor para a componente
do momento angular orbital:
com
.
Comentário didático: estas três equações vêm da separação da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas. A equação radial determina
e
; as equações angulares (autovalores de
e
) determinam
e
através dos harmônicos esféricos.
Passo 5
(d) Calcular o valor esperado de
usando uma equação de autovalor.
Se estamos em um estado próprio de
, ou seja
satisfaz
então o valor esperado de
nesse estado é simplesmente o autovalor (porque a média de um operador em um autofunção é o autofunção multiplicada pelo autovalor):
Cálculo explícito:
Como a função está normalizada
, segue
Observação prática: para o estado fundamental
, isso dá
.
Passo 6
(e) Escrever as equações de autovalor para o Spin (extensão das equações do item (c)) e comentar como combinam com as do orbital.
As equações de autovalor do Spin são análogas às do momento angular, mas atuam na parte de spin (spinor) da função de onda:
- Autovalor de
:
Para o elétron
e, portanto,
- Autovalor de
:
com
ou
para o elétron.
Combinação com as equações orbitais: a função de onda total é produto (ou tensora) da parte espacial e da parte de spin. Isso significa que os autovalores de
e
são definidos separadamente e a função de onda total pode ser escrita como
Em muitos casos introduz-se também o operador de momento angular total
com autovalores
e
— aí aparecem números quânticos
e
— mas isso é um passo adicional (útil quando há interação spin-órbita).
Passo 7
(f) Desconsiderando o spin, montar a função de onda que descreve a transição entre
e
.
Interpretação prática: uma transição entre níveis pode ser descrita por uma superposição temporalmente dependente dos autofunções estacionárias dos níveis envolvidos. A forma geral (ignorando spin) é
com
(se a função estiver normalizada).
- Se a transição é para um estado
específico, escolha apropriados. O caso mais simples é (estado ), então é a função espacial do nível . A forma explícita para as duas funções (normalizadas) é:
Estado fundamental (
):
Estado
(
):
Portanto a função de onda que descreve uma superposição (transição coerente) entre
e
é, por exemplo,
com
.
Comentário útil para prova: a frequência de oscilação das probabilidades entre os níveis é
. A probabilidade de encontrar o elétron no estado
varia com o tempo como
.
Resposta
(a) O Spin é um momento angular intrínseco quantizado da partícula (grau de liberdade interno, não rotacional clássico). Ele não aparece na equação de Schrödinger escalar porque essa equação é não-relativística e não inclui o grau de liberdade de spin; Spin surge naturalmente na teoria relativística (equação de Dirac) ou por inclusão explícita via equação de Pauli (spinores e termos magnéticos).
(b) Função de onda do estado fundamental (com notação
):
com
e
.
(c) Três equações de autovalores (com números quânticos gerais):
(d) Valor esperado de
em um autofunção
:
(Em particular, para o estado fundamental
,
.)
(e) Equações de autovalor para o Spin (elétron
):
com
. A função total pode ser escrita
.
(f) Função de onda (ignorando spin) que descreve a transição entre
e
(superposição temporal):
onde
e
.