1. (a) O quê é o Spin do átomo. Porquê o Spin não aparece na equação de Schrödinger.
    (b) Escreva a função de onda para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos [autofunção \psi_{a, b, c, d} ].
    (c) Escreva as 3 equações de autovalores que são deduzidas a partir da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio [especifique de forma geral os números quânticos nessas equações].
    (d) Calcular o valor esperado do operador L z [use uma equação de autovalor para simplificar os cálculos].
    (e) Escreva as equações de autovalor para o Spin, as quais podem ser estendidas a partir das equações de autovalores escritas em (c). (f) Desconsiderando o spin, monte a função de onda que descreve a transição entre n=1 e n=2, para o átomo de Hidrogênio.

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado pede e quais entregas você precisa ver no final. O exercício tem seis partes (a)–(f). Vou listar cada uma delas e o que é pedido, sem resolver ainda:
(a) O que é o Spin do átomo. Por que o Spin não aparece na equação de Schrödinger.
(b) Escrever a função de onda para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos (autofunção \psi_{a,b,c,d}).
(c) Escrever as 3 equações de autovalores que se deduzem a partir da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio, especificando os números quânticos de forma geral.
(d) Calcular o valor esperado do operador L_z (usar uma equação de autovalor para simplificar).
(e) Escrever as equações de autovalor para o Spin, que estendem as equações do item (c).
(f) Desconsiderando o spin, montar a função de onda que descreve a transição entre n=1 e n=2 para o átomo de Hidrogênio.
Informações implícitas que vamos usar (não foi preciso pedir nada adicional): propriedades padrão do elétron (spin 1/2), estrutura das soluções do átomo de Hidrogênio (separação radial/angulares), constantes físicas como a constante de Bohr a_0, e que a equação de Schrödinger não é relativística. Agora começo a desenvolver passo a passo cada item, com explicações didáticas.

Passo 2

(a) O que é o Spin — explicação didática e informal.
  • Ideia física (intuição): o Spin é uma propriedade intrínseca das partículas (como o elétron) que se comporta como um momento angular “interno”. Não é literalmente uma partícula girando no espaço clássico, é um grau de liberdade quântico próprio. Ele dá origem a quantidades observáveis como o momento angular intrínseco e o momento magnético do elétron (por isso o Spin aparece em interações magnéticas).
  • Características quantizadas: para uma partícula com spin s existem 2s+1 valores possíveis da componente S_z. Para o elétron, s=\tfrac{1}{2} e os valores possíveis de m_s são m_s=+\tfrac{1}{2} e m_s=-\tfrac{1}{2}.
  • Representação matemática: o Spin é descrito por operadores \mathbf{S}=(S_x,S_y,S_z) que satisfazem as mesmas relações de comutação do momento angular orbital \mathbf{L}. Os autovalores são dados por
S^2\chi = \hbar^2 s(s+1)\chi, \qquad S_z\chi = \hbar m_s \chi,
onde \chi é a função de spin (spinor) e s,m_s são os números quânticos do spin.
Por que o Spin não aparece na equação de Schrödinger (não-relativística) simples:
  • A equação de Schrödinger não-relativística para uma partícula independente descreve apenas coordenadas espaciais e momento canônico. Ela foi formulada sem levar em conta efeitos relativísticos que originam o Spin. Por isso a versão escalar da equação de Schrödinger tem funções de onda escalares \psi(\mathbf r,t) e não contém termos que atuem sobre a parte de spin.
  • O spin surge de uma teoria relativística mais refinada: a equação de Dirac (relativística) prevê naturalmente o Spin do elétron e mostra porque o Spin existe. Em aproximações não-relativísticas, o Spin pode ser introduzido “à mão” transformando a função de onda em um spinor (componentes de spin) e usando a equação de Pauli, que acrescenta a interação spin-órbita e o acoplamento magnético com campos externos. Em palavras: a equação de Schrödinger escalar é suficiente para energias e situações sem acoplamentos magnéticos finos; para incorporar Spin e efeitos magnéticos é preciso a versão com spin (Pauli) ou a relativística (Dirac).
Resumo prático (útil para prova): a equação de Schrödinger padrão não contém Spin porque é uma equação escalar e não leva em conta efeitos relativísticos; o Spin é introduzido como um grau de liberdade adicional (spinor) e tratado por Pauli/Dirac quando necessário.

Passo 3

(b) Escrever a função de onda do estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos.
Primeiro, lembrar a estrutura geral das autofunções do Hidrogênio (separação de variáveis):
\psi_{n,l,m}(\mathbf r)=R_{n,l}(r)\,Y_l^m(\theta,\varphi),
onde
  • n é o número quântico principal: n=1,2,3,\dots;
  • l é o número quântico azimutal: l=0,1,\dots,n-1;
  • m é o número quântico magnético: m=-l,-l+1,\dots,l;
  • R_{n,l}(r) é a parte radial normalizada;
  • Y_l^m(\theta,\varphi) são harmônicos esféricos normalizados.
O estado fundamental é n=1,l=0,m=0. A função de onda espacial desse estado é (forma usual e normalizada):
\psi_{1,0,0}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\,e^{-r/a_0},
onde a_0 é a constante de Bohr.
Agora incluir o spin: a função de onda total do elétron deve conter a parte espacial e a parte de spin. Uma notação com quatro índices pedida \psi_{a,b,c,d} pode ser interpretada como \psi_{n,l,m,m_s}. Então o estado fundamental completo (espaço \times spin) é
\psi_{1,0,0,m_s}(\mathbf r,\sigma)=\psi_{1,0,0}(r,\theta,\varphi)\,\chi_{m_s}(\sigma),
onde \chi_{m_s} é o spinor do elétron com m_s=+\tfrac{1}{2} ou m_s=-\tfrac{1}{2}. Em componentes:
\chi_{+\tfrac{1}{2}}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, \qquad \chi_{-\tfrac{1}{2}}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
Observação prática: se o enunciado pedir apenas a parte espacial do estado fundamental, use \psi_{1,0,0}(r,\theta,\varphi)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}. Se quiser o índice extra para o spin, escreva \psi_{1,0,0,m_s}.

Passo 4

(c) As 3 equações de autovalores deduzidas da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio — apresentação explícita e explicação das quantizações.
  1. Equação de energia (autovalor do Hamiltoniano):
\hat H \psi_{n,l,m}(\mathbf r) = E_n \psi_{n,l,m}(\mathbf r).
Aqui \hat H é o Hamiltoniano do elétron no potencial Coulomb do próton:
\hat H = -\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r},
onde \mu é a massa reduzida do sistema elétron-próton (na prática para o hidrogênio simples pode-se usar \mu\approx m_e). O autovalor depende apenas de n:
E_n = -\frac{\mu e^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}
ou, numericamente em elétron-volts,
E_n = -\frac{13,6\\ \text{eV}}{n^2}, \qquad n=1,2,3,\dots
Explicação: a separação de variáveis leva a energias quantizadas dependendo só de n.
  1. Equação de autovalor para o quadrado do momento angular orbital:
\hat L^2 \psi_{n,l,m}(\mathbf r) = \hbar^2 l(l+1)\,\psi_{n,l,m}(\mathbf r),
com l=0,1,\dots,n-1.
  1. Equação de autovalor para a componente z do momento angular orbital:
\hat L_z \psi_{n,l,m}(\mathbf r) = \hbar m\,\psi_{n,l,m}(\mathbf r),
com m=-l,-l+1,\dots,l.
Comentário didático: estas três equações vêm da separação da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas. A equação radial determina E_n e R_{n,l}; as equações angulares (autovalores de \hat L^2 e \hat L_z) determinam l e m através dos harmônicos esféricos.

Passo 5

(d) Calcular o valor esperado de L_z usando uma equação de autovalor.
Se estamos em um estado próprio de \hat L_z, ou seja \psi_{n,l,m} satisfaz
\hat L_z \psi_{n,l,m} = \hbar m \,\psi_{n,l,m},
então o valor esperado de \hat L_z nesse estado é simplesmente o autovalor (porque a média de um operador em um autofunção é o autofunção multiplicada pelo autovalor):
Cálculo explícito:
\langle L_z \rangle = \int \psi_{n,l,m}^*(\mathbf r)\,\hat L_z\,\psi_{n,l,m}(\mathbf r)\,d^3r = \int \psi_{n,l,m}^*(\mathbf r)\,\hbar m\,\psi_{n,l,m}(\mathbf r)\,d^3r = \hbar m \int |\psi_{n,l,m}(\mathbf r)|^2\,d^3r.
Como a função está normalizada \displaystyle\int |\psi|^2 d^3r =1, segue
\langle L_z \rangle = \hbar m.
Observação prática: para o estado fundamental n=1,l=0,m=0, isso dá \langle L_z\rangle = \hbar\cdot 0 = 0.

Passo 6

(e) Escrever as equações de autovalor para o Spin (extensão das equações do item (c)) e comentar como combinam com as do orbital.
As equações de autovalor do Spin são análogas às do momento angular, mas atuam na parte de spin (spinor) da função de onda:
  1. Autovalor de S^2:
\hat S^2 \chi_{s,m_s} = \hbar^2 s(s+1)\,\chi_{s,m_s}.
Para o elétron s=\tfrac{1}{2} e, portanto,
\hat S^2 \chi = \hbar^2\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right)\chi = \hbar^2\frac{3}{4}\,\chi.
  1. Autovalor de S_z:
\hat S_z \chi_{s,m_s} = \hbar m_s\,\chi_{s,m_s},
com m_s=+\tfrac{1}{2} ou m_s=-\tfrac{1}{2} para o elétron.
Combinação com as equações orbitais: a função de onda total é produto (ou tensora) da parte espacial e da parte de spin. Isso significa que os autovalores de \hat L^2,\hat L_z e \hat S^2,\hat S_z são definidos separadamente e a função de onda total pode ser escrita como
\Psi_{n,l,m,s,m_s}(\mathbf r,\sigma)=\psi_{n,l,m}(\mathbf r)\,\chi_{s,m_s}(\sigma).
Em muitos casos introduz-se também o operador de momento angular total \mathbf J=\mathbf L+\mathbf S com autovalores J^2 e J_z — aí aparecem números quânticos j e m_j — mas isso é um passo adicional (útil quando há interação spin-órbita).

Passo 7

(f) Desconsiderando o spin, montar a função de onda que descreve a transição entre n=1 e n=2.
Interpretação prática: uma transição entre níveis pode ser descrita por uma superposição temporalmente dependente dos autofunções estacionárias dos níveis envolvidos. A forma geral (ignorando spin) é
\Psi(\mathbf r,t)=c_1\,\psi_{1,0,0}(\mathbf r)\,e^{-iE_1 t/\hbar} + c_2\,\psi_{2,l,m}(\mathbf r)\,e^{-iE_2 t/\hbar},
com |c_1|^2+|c_2|^2=1 (se a função estiver normalizada).
  • Se a transição é para um estado n=2 específico, escolha l,m apropriados. O caso mais simples é l=0,m=0 (estado 2s), então \psi_{2,0,0} é a função espacial do nível 2s. A forma explícita para as duas funções (normalizadas) é:
Estado fundamental ( 1s):
\psi_{1,0,0}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\,e^{-r/a_0}.
Estado 2s ( n=2,l=0,m=0):
\psi_{2,0,0}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi a_0^3}}\left(2-\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}.
Portanto a função de onda que descreve uma superposição (transição coerente) entre n=1 e n=2 é, por exemplo,
\Psi(\mathbf r,t)=c_1\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\,e^{-r/a_0}\,e^{-iE_1 t/\hbar} + c_2\frac{1}{4\sqrt{2\pi a_0^3}}\left(2-\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}\,e^{-iE_2 t/\hbar},
com |c_1|^2+|c_2|^2=1.
Comentário útil para prova: a frequência de oscilação das probabilidades entre os níveis é \omega_{21}=(E_2-E_1)/\hbar. A probabilidade de encontrar o elétron no estado n=1 varia com o tempo como |c_1|^2 + \text{(termos cruzados oscilantes)}.

Resposta

(a) O Spin é um momento angular intrínseco quantizado da partícula (grau de liberdade interno, não rotacional clássico). Ele não aparece na equação de Schrödinger escalar porque essa equação é não-relativística e não inclui o grau de liberdade de spin; Spin surge naturalmente na teoria relativística (equação de Dirac) ou por inclusão explícita via equação de Pauli (spinores e termos magnéticos).
(b) Função de onda do estado fundamental (com notação \psi_{n,l,m,m_s}):
\psi_{1,0,0}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}, \qquad \psi_{1,0,0,m_s}(\mathbf r,\sigma)=\psi_{1,0,0}(\mathbf r)\chi_{m_s}(\sigma),
com \chi_{+\tfrac{1}{2}}=(1,0)^T e \chi_{-\tfrac{1}{2}}=(0,1)^T.
(c) Três equações de autovalores (com números quânticos gerais):
\hat H\psi_{n,l,m}=E_n\psi_{n,l,m},\qquad E_n=-\dfrac{\mu e^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}\dfrac{1}{n^2},\; n=1,2,\dots
\hat L^2\psi_{n,l,m}=\hbar^2 l(l+1)\psi_{n,l,m},\qquad l=0,1,\dots,n-1
\hat L_z\psi_{n,l,m}=\hbar m\psi_{n,l,m},\qquad m=-l,\dots,l.
(d) Valor esperado de L_z em um autofunção \psi_{n,l,m}:
\langle L_z\rangle=\hbar m.
(Em particular, para o estado fundamental n=1,l=0,m=0, \langle L_z\rangle=0.)
(e) Equações de autovalor para o Spin (elétron s=\tfrac{1}{2}):
\hat S^2\chi_{s,m_s}=\hbar^2 s(s+1)\chi_{s,m_s}=\hbar^2\frac{3}{4}\chi_{s,m_s}, \qquad \hat S_z\chi_{s,m_s}=\hbar m_s\chi_{s,m_s},
com m_s=+\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}. A função total pode ser escrita \Psi_{n,l,m,s,m_s}(\mathbf r,\sigma)=\psi_{n,l,m}(\mathbf r)\chi_{s,m_s}(\sigma).
(f) Função de onda (ignorando spin) que descreve a transição entre n=1 e n=2 (superposição temporal):
\Psi(\mathbf r,t)=c_1\,\psi_{1,0,0}(\mathbf r)\,e^{-iE_1 t/\hbar} + c_2\,\psi_{2,0,0}(\mathbf r)\,e^{-iE_2 t/\hbar},
onde
\psi_{1,0,0}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}, \qquad \psi_{2,0,0}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{4\sqrt{2\pi a_0^3}}\left(2-\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)},
e |c_1|^2+|c_2|^2=1.

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