- Mostrar que na presença de acoplamento S.L (spinórbita), o número quântico de momento angular tem valores dados por:
- Em quais dos átomos a seguir o estado fundamental é desdobrado pela interação spin-órbita: Li, B, Na,
?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que, na presença de acoplamento spin-órbita entre os operadores de momento orbital
e spin , o momento angular total pode assumir apenas os valores
- Dizer, entre os átomos
, em quais o estado fundamental é desdobrado pela interação spin-órbita.
Informações relevantes dadas/implied:
- Existe acoplamento do tipo spin-órbita que depende de
. - Precisamos conhecer como os espaços de estados de
e se combinam e quando essa interação leva a níveis com energias diferentes (ou seja, quando existem valores distintos de possíveis para o mesmo par ). - Para a segunda parte, é preciso identificar a configuração eletrônica do estado fundamental de cada átomo e o valor de
e do elétron(es) que determinam o momento angular total do estado fundamental.
Passo 2
Definições e propriedades básicas (peça por peça, devagarzinho):
- O operador momento orbital é
e tem autovalores para dados por
onde
é o número quântico orbital (inteiro,
) e
é sua projeção (
).
- O operador spin é
e tem autovalores
onde
é o spin (por exemplo
para um elétron) e
.
- O momento angular total é o operador
com autovalores para
e
. Aqui
é o número quântico total que queremos caracterizar.
Passo 3
Encontrando o valor máximo de
(intuição com projeções):
- A projeção
vale . O maior valor possível de ocorre quando e , então
- Como para qualquer estado válido
, o valor máximo de deve satisfazer . Portanto o maior valor permitido para é
Isto é intuitivo: alinhar ao máximo
e
dá o maior total.
Passo 4
Encontrando o valor mínimo de
e por que os passos são inteiros:
- Analogamente ao máximo, o menor valor absoluto possível de
vem da desigualdade triangular entre vetores momento: deve satisfazer
- Outra forma mais formal (contagem de estados) — que comprova que os valores de
entre esses extremos aparecem todos com passo inteiro — é notar que o espaço combinado de e tem dimensão
Sejam os possíveis valores de
consecutivos
. A soma das degenerescências
deve cobrir a dimensão total:
Resolver essa identidade (soma de uma progressão aritmética) mostra que a sequência de
é exatamente a sequência inteira entre
e
. Isso garante que os valores permitidos são
Passo 5
Resumo da demonstração (fechando a primeira parte):
- Pelo argumento das projeções obtemos
. - Pelo desigualdade triangular e pela contagem de estados obtemos
e que todos os valores inteiros entre e ocorrem. - Logo os valores possíveis de
são exactamente
Passo 6
Por que isso importa para o acoplamento spin-órbita (ligação com energia):
- O termo de spin-órbita típico tem a forma (proporcional)
- Para um estado próprio de
a média do produto é
- Assim, para diferentes valores de
(mesmo e ) obtém-se valores diferentes de e portanto diferentes energias — isto é o desdobramento (splitting) devido ao spin-órbita. Se existir apenas um valor possível de (por exemplo quando e qualquer, então único), não há desdobramento porque não há níveis distintos para separar.
Passo 7
Aplicando aos átomos pedidos: identificar configuração e
do elétron que determina o estado fundamental
- Li (
): configuração de valência . O elétron de valência está em orbital , logo . O spin do elétron é . Como só existe — apenas um possível — logo NÃO há desdobramento do estado fundamental por spin-órbita. - B (
): configuração de valência . Aqui (orbital ) e . Os valores possíveis de são e . Há dois distintos → HÁ desdobramento do estado fundamental (geralmente em níveis e ). - Na (
): valência . Mesmo raciocínio que Li: e → único → NÃO há desdobramento. - Al (
): valência . Mesmo caso que B: → → HÁ desdobramento. - K (
): valência . Mesmo caso que Li e Na: → único → NÃO há desdobramento.
Observação física prática: o desdobramento existe sempre que o estado fundamental tiver
e
tal que mais de um
seja possível; a magnitude do desdobramento cresce com
(mais forte para átomos mais pesados), mas mesmo pequenos átomos como B já exibem dois níveis distintos.
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia):
- Para
(caso ) as expectativas de são:
- A diferença é
multiplicada pelo coeficiente do Hamiltoniano , mostrando que os dois têm energias distintas.
Resposta
B, Al