1. Mostrar que na presença de acoplamento S.L (spinórbita), o número quântico de momento angular tem valores dados por: j=l+s, l+s-1, l+s- 2, \ldots \ldots .,|l-s|
  2. Em quais dos átomos a seguir o estado fundamental é desdobrado pela interação spin-órbita: Li, B, Na, \mathrm{Al}, \mathrm{K} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que, na presença de acoplamento spin-órbita entre os operadores de momento orbital L e spin S, o momento angular total J=L+S pode assumir apenas os valores
j=l+s,\; l+s-1,\; l+s-2,\;\ldots,\; |\,l-s\,|.
  • Dizer, entre os átomos \text{Li},\\ \text{B},\\ \text{Na},\\ \text{Al},\\ \text{K}, em quais o estado fundamental é desdobrado pela interação spin-órbita.
Informações relevantes dadas/implied:
  • Existe acoplamento do tipo spin-órbita que depende de L\cdot S.
  • Precisamos conhecer como os espaços de estados de L e S se combinam e quando essa interação leva a níveis com energias diferentes (ou seja, quando existem valores distintos de j possíveis para o mesmo par (l,s)).
  • Para a segunda parte, é preciso identificar a configuração eletrônica do estado fundamental de cada átomo e o valor de l e s do elétron(es) que determinam o momento angular total do estado fundamental.

Passo 2

Definições e propriedades básicas (peça por peça, devagarzinho):
  • O operador momento orbital é L e tem autovalores para L^2 dados por
L^2\ket{l,m_l} = \hbar^2 l(l+1)\ket{l,m_l},
onde l é o número quântico orbital (inteiro, l=0,1,2,\dots) e m_l é sua projeção ( m_l=-l,\ldots,+l).
  • O operador spin é S e tem autovalores
S^2\ket{s,m_s} = \hbar^2 s(s+1)\ket{s,m_s},
onde s é o spin (por exemplo s=\tfrac{1}{2} para um elétron) e m_s=-s,\ldots,+s.
  • O momento angular total é o operador
J = L + S,
com autovalores para J^2
J^2\ket{j,m_j} = \hbar^2 j(j+1)\ket{j,m_j},
e m_j=-j,\ldots,+j. Aqui j é o número quântico total que queremos caracterizar.

Passo 3

Encontrando o valor máximo de j (intuição com projeções):
  • A projeção J_z vale J_z = L_z + S_z. O maior valor possível de m_j ocorre quando m_l=l e m_s=s, então
m_{j,\text{max}} = l + s.
  • Como para qualquer estado válido |m_j|\le j, o valor máximo de j deve satisfazer j \ge m_{j,\text{max}} = l+s. Portanto o maior valor permitido para j é
j_{\max} = l + s.
Isto é intuitivo: alinhar ao máximo L e S dá o maior total.

Passo 4

Encontrando o valor mínimo de j e por que os passos são inteiros:
  • Analogamente ao máximo, o menor valor absoluto possível de j vem da desigualdade triangular entre vetores momento: j deve satisfazer
|\,l - s\,| \le j \le l + s.
  • Outra forma mais formal (contagem de estados) — que comprova que os valores de j entre esses extremos aparecem todos com passo inteiro — é notar que o espaço combinado de L e S tem dimensão
(2l+1)(2s+1).
Sejam os possíveis valores de j consecutivos j_{\min}, j_{\min}+1,\ldots, j_{\max}. A soma das degenerescências (2j+1) deve cobrir a dimensão total:
\sum_{j=j_{\min}}^{j_{\max}} (2j+1) = (2l+1)(2s+1).
Resolver essa identidade (soma de uma progressão aritmética) mostra que a sequência de j é exatamente a sequência inteira entre |l-s| e l+s. Isso garante que os valores permitidos são
j = l+s,\; l+s-1,\; \ldots,\; |\,l-s\,|.

Passo 5

Resumo da demonstração (fechando a primeira parte):
  • Pelo argumento das projeções obtemos j_{\max}=l+s.
  • Pelo desigualdade triangular e pela contagem de estados obtemos j_{\min}=|l-s| e que todos os valores inteiros entre |l-s| e l+s ocorrem.
  • Logo os valores possíveis de j são exactamente
\boxed{j = l+s,\; l+s-1,\; l+s-2,\; \ldots,\; |\,l-s\,|.}

Passo 6

Por que isso importa para o acoplamento spin-órbita (ligação com energia):
  • O termo de spin-órbita típico tem a forma (proporcional)
H_{SO} \propto L\cdot S.
  • Para um estado próprio de J^2, L^2, S^2 a média do produto é
\langle L\cdot S\rangle = \frac{1}{2}\big(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)\big)\hbar^2.
  • Assim, para diferentes valores de j (mesmo l e s) obtém-se valores diferentes de \langle L\cdot S\rangle e portanto diferentes energias — isto é o desdobramento (splitting) devido ao spin-órbita. Se existir apenas um valor possível de j (por exemplo quando l=0 e s qualquer, então j=s único), não há desdobramento porque não há níveis distintos para separar.

Passo 7

Aplicando aos átomos pedidos: identificar configuração e l,s do elétron que determina o estado fundamental
  • Li ( \text{Z}=3): configuração de valência \;2s^1. O elétron de valência está em orbital s, logo l=0. O spin do elétron é s=\tfrac{1}{2}. Como l=0 só existe j=|l-s|= \tfrac{1}{2} — apenas um j possível — logo NÃO há desdobramento do estado fundamental por spin-órbita.
  • B ( \text{Z}=5): configuração de valência \;2p^1. Aqui l=1 (orbital p) e s=\tfrac{1}{2}. Os valores possíveis de j são j=1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2} e j=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}. Há dois j distintos → HÁ desdobramento do estado fundamental (geralmente em níveis {}^2P_{1/2} e {}^2P_{3/2}).
  • Na ( \text{Z}=11): valência \;3s^1. Mesmo raciocínio que Li: l=0 e s=\tfrac{1}{2} → único j=\tfrac{1}{2} → NÃO há desdobramento.
  • Al ( \text{Z}=13): valência \;3p^1. Mesmo caso que B: l=1,\\ s=\tfrac{1}{2} j=\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2} → HÁ desdobramento.
  • K ( \text{Z}=19): valência \;4s^1. Mesmo caso que Li e Na: l=0 → único j → NÃO há desdobramento.
Observação física prática: o desdobramento existe sempre que o estado fundamental tiver l\neq 0 e s\neq 0 tal que mais de um j seja possível; a magnitude do desdobramento cresce com Z (mais forte para átomos mais pesados), mas mesmo pequenos átomos como B já exibem dois níveis distintos.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para fixar a ideia):
  • Para l=1,\\ s=\tfrac{1}{2} (caso p^1) as expectativas de L\cdot S são:
\langle L\cdot S\rangle_{j=\tfrac{3}{2}} = \frac{1}{2}\big(\tfrac{3}{2}(\tfrac{3}{2}+1)-1(1+1)-\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}+1)\big)\hbar^2 = \tfrac{1}{2}\hbar^2,
\langle L\cdot S\rangle_{j=\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{2}\big(\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}+1)-2-\tfrac{3}{4}\big)\hbar^2 = -\hbar^2.
  • A diferença é \tfrac{3}{2}\hbar^2 multiplicada pelo coeficiente do Hamiltoniano H_{SO}, mostrando que os dois j têm energias distintas.

Resposta

j = l+s,\; l+s-1,\; l+s-2,\; \ldots,\; |\,l-s\,|
B, Al

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