5 Um átomo de hidrogênio se inicia na seguinte combinação linear de estados estacionários: n=2, l=1, m=1 e n=2, l=1, m=-1 :
\Psi(\mathbf{r}, 0)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\psi_{211}+\psi_{21-1}\right)
(a) Monte \Psi(\mathbf{r}, t). Simplifique o máximo que puder.
(b) Calcule o valor esperado da energia potencial, \langle V\rangle. (Ela depende de t ?) Obtenha tanto a fórmula quanto o número real em elétron volts.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda inicial como uma combinação linear de dois estados estacionários do átomo de hidrogênio:
\Psi(\mathbf{r},0)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\psi_{211}(\mathbf{r})+\psi_{21-1}(\mathbf{r})\bigr).
O que se pede:
  • (a) determinar \Psi(\mathbf{r},t) e simplificar o máximo possível;
  • (b) calcular o valor esperado da energia potencial \langle V\rangle e dizer se ele depende de t; fornecer fórmula e valor numérico em elétron-volts.
Informações relevantes (do enunciado):
  • Ambos os termos têm o mesmo número principal n=2 e l=1; os m são +1 e -1.
  • A energia associada a cada estado estacionário \psi_{n\ell m} é E_n (depende só de n no átomo de hidrogênio).

Passo 2

Como a teoria manda: estados estacionários satisfazem
\hat H \psi_{n\ell m} = E_n \psi_{n\ell m},
e a evolução temporal de um autovetor de energia é simplesmente multiplicar por um fator de fase
\psi_{n\ell m}(\mathbf{r},t)=\psi_{n\ell m}(\mathbf{r})\,e^{-iE_n t/\hbar}.
Para uma superposição linear com coeficientes c_j (no instante t=0), a evolução é a soma dos termos evoluídos:
\Psi(\mathbf{r},t)=\sum_j c_j\,\psi_j(\mathbf{r})\,e^{-iE_j t/\hbar}.
Aqui temos dois termos com os mesmos E_2. Logo basta aplicar esta regra ao caso dado.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
\Psi(\mathbf{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\psi_{211}(\mathbf{r})\,e^{-iE_2 t/\hbar}+\psi_{21-1}(\mathbf{r})\,e^{-iE_2 t/\hbar}\bigr).
Como E_2 é igual nos dois termos, fatoramos a mesma fase:
\Psi(\mathbf{r},t)=e^{-iE_2 t/\hbar}\,\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\psi_{211}(\mathbf{r})+\psi_{21-1}(\mathbf{r})\bigr).
Portanto a combinação espacial permanece igual à \Psi(\mathbf{r},0) e o tempo aparece apenas como um fator de fase global e^{-iE_2 t/\hbar}. Isso já é uma grande simplificação: probabilidades e valores esperados de operadores que não dependem de tempo explicitamente e que comutam com esse fator (toda quantidade que depende de |\Psi|^2) serão independentes de t.
É possível escrever a parte espacial de forma mais explícita usando a separação radial+angular:
\psi_{21m}(\mathbf{r})=R_{21}(r)\,Y_{1m}(\theta,\varphi).
Logo
\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\psi_{211}+\psi_{21-1}\bigr)=R_{21}(r)\,\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(Y_{1,1}(\theta,\varphi)+Y_{1,-1}(\theta,\varphi)\bigr).
Usando as formas padrão das harmônicas esféricas
Y_{1,\pm1}(\theta,\varphi)=\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{\pm i\varphi},
fazendo a soma e simplificando (algebra direta) obtém-se
\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(Y_{1,1}+Y_{1,-1}\bigr)=-i\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\,\sin\theta\,\sin\varphi.
Portanto, até uma fase global (que não tem efeito físico), a parte espacial é proporcional a R_{21}(r)\sin\theta\sin\varphi. Se quiser a forma radial explícita, a função radial normalizada para n=2,\;l=1 é
R_{21}(r)=\frac{1}{2\sqrt{6}\,a_0^{3/2}}\left(\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)},
onde a_0 é o raio de Bohr. Assim uma forma explícita (com fase) é
\Psi(\mathbf{r},t)=-i\,e^{-iE_2 t/\hbar}\,\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\,R_{21}(r)\,\sin\theta\,\sin\varphi,
ou, removendo a fase global -i (que não altera observáveis),
\Psi(\mathbf{r},t)\propto e^{-iE_2 t/\hbar}\,R_{21}(r)\,\sin\theta\,\sin\varphi.

Passo 4

Agora vamos calcular \langle V\rangle. O potencial do átomo de hidrogênio é
V(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}.
Duas observações que facilitam muito o cálculo:
  1. Para autovetores de energia do potencial coulombiano vale o teorema do virial: \langle T\rangle = -E_n e \langle V\rangle = 2E_n. Aqui E_n é a energia do nível n.
  2. Como a superposição usa apenas estados com o mesmo n (ambos têm n=2), e V é uma função radial (operador central), os termos cruzados \langle\psi_{21\pm1}|V|\psi_{21\mp1}\rangle desaparecem pela ortonormalidade angular (ou então, mesmo se não desaparecessem, os fatores de fase temporal seriam iguais porque E_2=E_2). Portanto \langle V\rangle para a superposição é a média ponderada dos \langle V\rangle dos estados componentes — que aqui são iguais — então o resultado é simplesmente o mesmo valor que para qualquer autestado com n=2.
Usando o teorema do virial:
\langle V\rangle = 2E_2.
E os níveis de energia do hidrogênio são
E_n=-\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{n^2}.
Para n=2:
E_2=-\frac{13{,}6\\ \text{eV}}{4}=-3{,}4\\ \text{eV}.
Portanto
\langle V\rangle = 2E_2 = 2(-3{,}4\\ \text{eV})=-6{,}8\\ \text{eV}.
Alternativamente, via integral radial conhecida \langle 1/r\rangle=1/(a_0 n^2), obtém-se
\langle V\rangle = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a_0 n^2} = -\frac{27{,}2\\ \text{eV}}{n^2},
que para n=2 -27{,}2/4=-6{,}8\\ \text{eV}, concordando com o resultado pelo virial.
Quanto à dependência em t: não depende de t. Motivos rápidos e didáticos:
  • A evolução temporal da função de onda é apenas um fator global e^{-iE_2 t/\hbar}, que cancela em \Psi^*\!V\Psi.
  • Ou, pensando em termos de expansão, os termos cruzados teriam fatores e^{i(E_i-E_j)t/\hbar}, mas aqui E_i=E_j (mesmo n), então são constantes. Além disso, V é diagonal em \ell,m para operadores centrais, então não surgem termos mistos temporais. Conclusão: \langle V\rangle é constante no tempo.

Resposta

(a) \displaystyle \Psi(\mathbf{r},t)=e^{-iE_2 t/\hbar}\,\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\psi_{211}(\mathbf{r})+\psi_{21-1}(\mathbf{r})\bigr). \newline
Uma forma explícita equivalente é \displaystyle \Psi(\mathbf{r},t)=-i\,e^{-iE_2 t/\hbar}\,\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\,R_{21}(r)\sin\theta\sin\varphi, com \displaystyle R_{21}(r)=\frac{1}{2\sqrt{6}\,a_0^{3/2}}\left(\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}.
(b) \displaystyle \langle V\rangle=2E_2=\;-\frac{27{,}2\\ \text{eV}}{n^2} (fórmula). Para n=2: \displaystyle \langle V\rangle=-6{,}8\\ \text{eV}. \newline
A resposta não depende de t.

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