5 Um átomo de hidrogênio se inicia na seguinte combinação linear de estados estacionários:
e
:
(a) Monte
. Simplifique o máximo que puder.
(b) Calcule o valor esperado da energia potencial,
. (Ela depende de
?) Obtenha tanto a fórmula quanto o número real em elétron volts.
(b) Calcule o valor esperado da energia potencial,
Passo 1
O enunciado dá a função de onda inicial como uma combinação linear de dois estados estacionários do átomo de hidrogênio:
O que se pede:
- (a) determinar
e simplificar o máximo possível; - (b) calcular o valor esperado da energia potencial
e dizer se ele depende de ; fornecer fórmula e valor numérico em elétron-volts.
Informações relevantes (do enunciado):
- Ambos os termos têm o mesmo número principal
e ; os são e . - A energia associada a cada estado estacionário
é (depende só de no átomo de hidrogênio).
Passo 2
Como a teoria manda: estados estacionários satisfazem
e a evolução temporal de um autovetor de energia é simplesmente multiplicar por um fator de fase
Para uma superposição linear com coeficientes
(no instante
), a evolução é a soma dos termos evoluídos:
Aqui temos dois termos com os mesmos
. Logo basta aplicar esta regra ao caso dado.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Como
é igual nos dois termos, fatoramos a mesma fase:
Portanto a combinação espacial permanece igual à
e o tempo aparece apenas como um fator de fase global
. Isso já é uma grande simplificação: probabilidades e valores esperados de operadores que não dependem de tempo explicitamente e que comutam com esse fator (toda quantidade que depende de
) serão independentes de
.
É possível escrever a parte espacial de forma mais explícita usando a separação radial+angular:
Logo
Usando as formas padrão das harmônicas esféricas
fazendo a soma e simplificando (algebra direta) obtém-se
Portanto, até uma fase global (que não tem efeito físico), a parte espacial é proporcional a
. Se quiser a forma radial explícita, a função radial normalizada para
é
onde
é o raio de Bohr. Assim uma forma explícita (com fase) é
ou, removendo a fase global
(que não altera observáveis),
Passo 4
Agora vamos calcular
. O potencial do átomo de hidrogênio é
Duas observações que facilitam muito o cálculo:
- Para autovetores de energia do potencial coulombiano vale o teorema do virial:
e . Aqui é a energia do nível . - Como a superposição usa apenas estados com o mesmo
(ambos têm ), e é uma função radial (operador central), os termos cruzados desaparecem pela ortonormalidade angular (ou então, mesmo se não desaparecessem, os fatores de fase temporal seriam iguais porque ). Portanto para a superposição é a média ponderada dos dos estados componentes — que aqui são iguais — então o resultado é simplesmente o mesmo valor que para qualquer autestado com .
Usando o teorema do virial:
E os níveis de energia do hidrogênio são
Para
:
Portanto
Alternativamente, via integral radial conhecida
, obtém-se
que para
dá
, concordando com o resultado pelo virial.
Quanto à dependência em
: não depende de
. Motivos rápidos e didáticos:
- A evolução temporal da função de onda é apenas um fator global
, que cancela em . - Ou, pensando em termos de expansão, os termos cruzados teriam fatores
, mas aqui (mesmo ), então são constantes. Além disso, é diagonal em para operadores centrais, então não surgem termos mistos temporais. Conclusão: é constante no tempo.
Resposta
(a)
\newline
Uma forma explícita equivalente é com
Uma forma explícita equivalente é
(b)
(fórmula). Para
:
\newline
A resposta não depende de .
A resposta não depende de