1 Resolva as funções de onda radiais R_{30}, R_{31} e R_{32} usando a fórmula de recursão (Equação 4.76 da Ref. [1]). Não tente normalizá-las.

Passo 1

O enunciado pede explicitamente as funções de onda radiais \,R_{30}, R_{31} e R_{32}\,, usando a fórmula de recorrência indicada (não é necessário normalizá‑las). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Nível principal n=3.
  • Momentos angulares pedidos: \ell=0,1,2.
  • Pedir para não normalizar significa que posso dar cada R_{n\ell}(r) multiplicada por uma constante arbitrária (ou seja, só a dependência em r e os polinômios ficam corretos).
  • Vou usar a representação padrão das funções radiais em termos da variável adimensional \rho (essa é a notação usual na derivação por recorrência).

Passo 2

Apresentar a forma geral (não normalizada) das funções radiais e definir as variáveis.
A forma padrão das funções radiais (não normalizada) para o átomo de hidrogênio é, em termos da variável adimensional \rho:
\rho \equiv \frac{2r}{n a_0},
onde a_0 é o raio de Bohr e r é a coordenada radial. Uma expressão não normalizada conveniente é
R_{n\ell}(r) \propto e^{-\rho/2}\,\rho^{\ell}\,L_{n-\ell-1}^{(2\ell+1)}(\rho).
Aqui:
  • L_{k}^{(\alpha)}(\rho) é o polinômio de Laguerre associado de ordem k e parâmetro \alpha.
  • O símbolo `` \propto’’ significa “proporcional a”: estamos omitindo o fator de normalização.
Explicação didática curta sobre cada peça:
  • O fator e^{-\rho/2} garante decaimento exponencial da função radial (isso vem da solução da equação radial).
  • O fator \rho^{\ell} impõe o comportamento próximo de r^{\ell} quando r\to0 (comportamento físico exigido pelo termo centrífugo).
  • O polinômio de Laguerre associado determina a parte polinomial que dá os nós radiais (zeros) característicos de cada estado.
Vou calcular explicitamente os polinômios necessários para n=3 e \ell=0,1,2.

Passo 3

Identificar os índices dos polinômios de Laguerre que aparecem para cada (n,\ell).
Para n=3:
  • Se \ell=0: então k=n-\ell-1=3-0-1=2 e \alpha=2\ell+1=1. Precisamos de L_{2}^{(1)}(\rho).
  • Se \ell=1: então k=3-1-1=1 e \alpha=2\ell+1=3. Precisamos de L_{1}^{(3)}(\rho).
  • Se \ell=2: então k=3-2-1=0 e \alpha=2\ell+1=5. Precisamos de L_{0}^{(5)}(\rho).
Agora escrevo explicitamente os polinômios associados (fórmulas básicas e cálculos passo a passo).

Passo 4

Calcular L_{0}^{(5)}(\rho), L_{1}^{(3)}(\rho) e L_{2}^{(1)}(\rho).
  • Polinômio de ordem zero:
L_{0}^{(5)}(\rho)=1.
(Trivial: todo L_{0}^{(\alpha)} vale 1.)
  • Polinômio de ordem um:
    A fórmula geral para L_{1}^{(\alpha)} é
L_{1}^{(\alpha)}(\rho) = -\rho + (\alpha+1).
Com \alpha=3:
L_{1}^{(3)}(\rho) = -\rho + 4.
  • Polinômio de ordem dois:
    A fórmula padrão para L_{2}^{(\alpha)} é
L_{2}^{(\alpha)}(\rho) = \tfrac{1}{2}\big(\rho^{2} - 2(\alpha+2)\rho + (\alpha+1)(\alpha+2)\big).
Com \alpha=1:
L_{2}^{(1)}(\rho) = \tfrac{1}{2}\big(\rho^{2} - 2(3)\rho + (2)(3)\big) = \tfrac{1}{2}\big(\rho^{2} - 6\rho + 6\big).
Podemos simplificar para termos práticos:
L_{2}^{(1)}(\rho) = \tfrac{1}{2}\rho^{2} - 3\rho + 3.

Passo 5

Montar as funções radiais (não normalizadas) em termos de \rho usando a expressão geral.
Usando
R_{n\ell}(r) \propto e^{-\rho/2}\,\rho^{\ell}\,L_{n-\ell-1}^{(2\ell+1)}(\rho),
e os polinômios calculados, obtemos:
  • Para \ell=0 ( R_{30}):
R_{30}(r) \propto e^{-\rho/2}\,L_{2}^{(1)}(\rho) = e^{-\rho/2}\!\left(\tfrac{1}{2}\rho^{2} - 3\rho + 3\right).
  • Para \ell=1 ( R_{31}):
R_{31}(r) \propto e^{-\rho/2}\,\rho\,L_{1}^{(3)}(\rho) = e^{-\rho/2}\,\rho\big(-\rho + 4\big) = e^{-\rho/2}\big(-\rho^{2} + 4\rho\big).
  • Para \ell=2 ( R_{32}):
R_{32}(r) \propto e^{-\rho/2}\,\rho^{2}\,L_{0}^{(5)}(\rho) = e^{-\rho/2}\,\rho^{2}.
Lembrete: \rho = \dfrac{2r}{3a_0} porque n=3.

Passo 6

Substituir \rho=\dfrac{2r}{3a_0} para escrever R_{3\ell} explicitamente em função de r (mantendo a proporcionalidade, sem fator de normalização).
Calculei os termos polinomiais com cuidado:
  • Para R_{30}:
    Primeiro expandir o polinômio em \rho:
\tfrac{1}{2}\rho^{2} - 3\rho + 3 = \tfrac{1}{2}\!\left(\frac{2r}{3a_0}\right)^{2} - 3\left(\frac{2r}{3a_0}\right) + 3.
Agora computar os coeficientes:
\tfrac{1}{2}\!\left(\frac{4r^{2}}{9a_0^{2}}\right) = \frac{2r^{2}}{9a_0^{2}},\qquad -3\cdot\frac{2r}{3a_0} = -2\frac{r}{a_0}.
Portanto, uma forma conveniente é
R_{30}(r) \propto \left(\frac{2r^{2}}{9a_0^{2}} - 2\frac{r}{a_0} + 3\right)\,e^{-r/(3a_0)}.
  • Para R_{31}:
-\rho^{2} + 4\rho = -\left(\frac{2r}{3a_0}\right)^{2} + 4\left(\frac{2r}{3a_0}\right) = -\frac{4r^{2}}{9a_0^{2}} + \frac{8r}{3a_0}.
Logo
R_{31}(r) \propto \left(-\frac{4r^{2}}{9a_0^{2}} + \frac{8r}{3a_0}\right)\,e^{-r/(3a_0)}.
  • Para R_{32}:
\rho^{2} = \left(\frac{2r}{3a_0}\right)^{2} = \frac{4r^{2}}{9a_0^{2}},
portanto
R_{32}(r) \propto \frac{4r^{2}}{9a_0^{2}}\,e^{-r/(3a_0)}.
Essas expressões estão sem o fator de normalização (apenas a dependência radial correta).

Resposta

R_{30}(r) \propto \left(\dfrac{2r^{2}}{9a_0^{2}} - 2\dfrac{r}{a_0} + 3\right)\,e^{-r/(3a_0)}
R_{31}(r) \propto \left(-\dfrac{4r^{2}}{9a_0^{2}} + \dfrac{8r}{3a_0}\right)\,e^{-r/(3a_0)}
R_{32}(r) \propto \dfrac{4r^{2}}{9a_0^{2}}\,e^{-r/(3a_0)}

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