1 Resolva as funções de onda radiais
e
usando a fórmula de recursão (Equação 4.76 da Ref. [1]). Não tente normalizá-las.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente as funções de onda radiais
e
, usando a fórmula de recorrência indicada (não é necessário normalizá‑las). Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Nível principal
. - Momentos angulares pedidos:
. - Pedir para não normalizar significa que posso dar cada
multiplicada por uma constante arbitrária (ou seja, só a dependência em e os polinômios ficam corretos). - Vou usar a representação padrão das funções radiais em termos da variável adimensional
(essa é a notação usual na derivação por recorrência).
Passo 2
Apresentar a forma geral (não normalizada) das funções radiais e definir as variáveis.
A forma padrão das funções radiais (não normalizada) para o átomo de hidrogênio é, em termos da variável adimensional
:
onde
é o raio de Bohr e
é a coordenada radial. Uma expressão não normalizada conveniente é
Aqui:
-
é o polinômio de Laguerre associado de ordem e parâmetro . - O símbolo ``
’’ significa “proporcional a”: estamos omitindo o fator de normalização.
Explicação didática curta sobre cada peça:
- O fator
garante decaimento exponencial da função radial (isso vem da solução da equação radial). - O fator
impõe o comportamento próximo de quando (comportamento físico exigido pelo termo centrífugo). - O polinômio de Laguerre associado determina a parte polinomial que dá os nós radiais (zeros) característicos de cada estado.
Vou calcular explicitamente os polinômios necessários para
e
.
Passo 3
Identificar os índices dos polinômios de Laguerre que aparecem para cada
.
Para
:
- Se
: então e . Precisamos de . - Se
: então e . Precisamos de . - Se
: então e . Precisamos de .
Agora escrevo explicitamente os polinômios associados (fórmulas básicas e cálculos passo a passo).
Passo 4
Calcular
,
e
.
- Polinômio de ordem zero:
(Trivial: todo
vale
.)
- Polinômio de ordem um:
A fórmula geral paraé
Com
:
- Polinômio de ordem dois:
A fórmula padrão paraé
Com
:
Podemos simplificar para termos práticos:
Passo 5
Montar as funções radiais (não normalizadas) em termos de
usando a expressão geral.
Usando
e os polinômios calculados, obtemos:
- Para
( ):
- Para
( ):
- Para
( ):
Lembrete:
porque
.
Passo 6
Substituir
para escrever
explicitamente em função de
(mantendo a proporcionalidade, sem fator de normalização).
Calculei os termos polinomiais com cuidado:
- Para
:
Primeiro expandir o polinômio em:
Agora computar os coeficientes:
Portanto, uma forma conveniente é
- Para
:
Logo
- Para
:
portanto
Essas expressões estão sem o fator de normalização (apenas a dependência radial correta).