Para o átomo de hidrogênio, o raio de Bohr é
. Calcule o raio da órbita para:
a)
a)
Passo 1
O enunciado dá o raio de Bohr
e pede para calcular o raio da órbita para
Informações relevantes:
(dado),
queremos correspondente ao nível principal
Informações relevantes:
queremos
Passo 2
Vamos usar a fórmula do modelo de Bohr para o raio da órbita do átomo de hidrogênio. Primeiro vou explicar a ideia e derivar a fórmula de forma simples e didática.
Condições do modelo de Bohr:
- A força eletrostática (força de Coulomb) fornece a força centrípeta que mantém o elétron em órbita:
Aqui:
-
é o número atômico (para hidrogênio ), -
é a carga do elétron, -
é a massa do elétron, -
é a permissividade do vácuo, -
é a velocidade do elétron, -
é o raio da órbita (o que queremos).
- Quantização do momento angular (hipótese de Bohr):
onde
é a constante de Planck reduzida e
é o número quântico principal.
Agora combinamos as duas equações para eliminar
. Da quantização temos
Substituindo em Coulomb = centrípeta:
Simplificando (mostro passo a passo):
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
O fator
é justamente o raio de Bohr
Portanto a fórmula final é
Explicação das variáveis na fórmula final:
-
é o raio da órbita com número quântico principal . -
é o raio de Bohr (constante dada). -
é o número atômico (para hidrogênio ).
Essa fórmula nos diz que os raios crescem como.
Passo 3
Aplicando ao caso pedido: hidrogênio tem
, então
Para
:
Agora fazemos as contas com o valor dado de
:
Multiplicando os números:
portanto
Reescrevendo em notação padrão (ajustando a potência de 10):
Arredondando para três algarismos significativos (consistente com o dado de
):
Passo 4
Interpretação rápida e ânimo: o raio da segunda órbita é quatro vezes maior que o raio de Bohr (porque
). Isso é típico do modelo de Bohr — cada nível cresce como
. Tá indo bem — mesmo com pouco tempo dá pra entender esse padrão e aplicar direto na prova!