Para o átomo de hidrogênio, o raio de Bohr é a_{0}=5,29 \times 10^{-11} \mathrm{~m}. Calcule o raio da órbita para:
a) n=2

Passo 1

O enunciado dá o raio de Bohr \,a_{0}=5{,}29\times10^{-11}\,\mathrm{m}\, e pede para calcular o raio da órbita para \,n=2.\,
Informações relevantes:
\,a_{0}=5{,}29\times10^{-11}\,\mathrm{m}\, (dado),
queremos \,r correspondente ao nível principal \,n=2.\,

Passo 2

Vamos usar a fórmula do modelo de Bohr para o raio da órbita do átomo de hidrogênio. Primeiro vou explicar a ideia e derivar a fórmula de forma simples e didática.
Condições do modelo de Bohr:
  1. A força eletrostática (força de Coulomb) fornece a força centrípeta que mantém o elétron em órbita:
\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Z e^{2}}{r^{2}}=\frac{m_{e}v^{2}}{r}
Aqui:
  • \,Z\, é o número atômico (para hidrogênio \,Z=1),
  • \,e\, é a carga do elétron,
  • \,m_{e}\, é a massa do elétron,
  • \,\epsilon_{0}\, é a permissividade do vácuo,
  • \,v\, é a velocidade do elétron,
  • \,r\, é o raio da órbita (o que queremos).
  1. Quantização do momento angular (hipótese de Bohr):
m_{e} v r = n\hbar
onde \,\hbar\, é a constante de Planck reduzida e \,n\, é o número quântico principal.
Agora combinamos as duas equações para eliminar v. Da quantização temos
v=\frac{n\hbar}{m_{e}r}.
Substituindo em Coulomb = centrípeta:
\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Z e^{2}}{r^{2}}=\frac{m_{e}}{r}\left(\frac{n\hbar}{m_{e}r}\right)^{2}
Simplificando (mostro passo a passo):
\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Z e^{2}}{r^{2}}=\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m_{e}r^{3}}
Multiplicando ambos os lados por r^{3}:
\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} Z e^{2} r = \frac{n^{2}\hbar^{2}}{m_{e}}
Isolando r:
r=\frac{4\pi\epsilon_{0}\hbar^{2}}{m_{e} e^{2}}\frac{n^{2}}{Z}
O fator \displaystyle \frac{4\pi\epsilon_{0}\hbar^{2}}{m_{e} e^{2}} é justamente o raio de Bohr \,a_{0}.\, Portanto a fórmula final é
r_{n}=\frac{n^{2}}{Z}\,a_{0}.
Explicação das variáveis na fórmula final:
  • \,r_{n}\, é o raio da órbita com número quântico principal \,n.
  • \,a_{0}\, é o raio de Bohr (constante dada).
  • \,Z\, é o número atômico (para hidrogênio \,Z=1).
    Essa fórmula nos diz que os raios crescem como \,n^{2}\,.

Passo 3

Aplicando ao caso pedido: hidrogênio tem \,Z=1, então
r_{n}=n^{2}a_{0}.
Para \,n=2:
r_{2}=2^{2}a_{0}=4a_{0}.
Agora fazemos as contas com o valor dado de \,a_{0}:
r_{2}=4\times\left(5{,}29\times10^{-11}\,\mathrm{m}\right).
Multiplicando os números:
4\times5{,}29=21{,}16,
portanto
r_{2}=21{,}16\times10^{-11}\,\mathrm{m}.
Reescrevendo em notação padrão (ajustando a potência de 10):
r_{2}=2{,}116\times10^{-10}\,\mathrm{m}.
Arredondando para três algarismos significativos (consistente com o dado de a_{0}):
r_{2}=2{,}12\times10^{-10}\,\mathrm{m}.

Passo 4

Interpretação rápida e ânimo: o raio da segunda órbita é quatro vezes maior que o raio de Bohr (porque 2^{2}=4). Isso é típico do modelo de Bohr — cada nível cresce como n^{2}. Tá indo bem — mesmo com pouco tempo dá pra entender esse padrão e aplicar direto na prova!

Resposta

r_{2}=2{,}12\times10^{-10}\,\mathrm{m}

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