Q1. Um metal possui função trabalho \varphi=2,5 e \mathrm{~V}.
a) Qual a frequência mínima da radiação necessária para iniciar o efeito fotoelétrico?
b) Qual o comprimento de onda de corte?

Passo 1

O enunciado diz que um metal tem função trabalho \varphi=2,5\\ \mathrm{eV} e pede duas coisas:
a) a frequência mínima da radiação necessária para iniciar o efeito fotoelétrico;
b) o comprimento de onda de corte (ou seja, o maior comprimento de onda que ainda provoca emissão eletrônica).
Informações dadas:
\varphi=2,5\\ \mathrm{eV}.
O que precisamos encontrar: a frequência mínima \nu_0 e o comprimento de onda de corte \lambda_0.

Passo 2

Conceito e fórmula fundamental (aula rápida): no efeito fotoelétrico cada fóton tem energia dada por \;E_\text{fóton}=h\nu\;ó, onde:
\;h\; é a constante de Planck e \;\nu\; é a frequência da luz.
Para que um elétron seja arrancado do metal, a energia do fóton deve ser pelo menos igual à função trabalho \varphi. Isso gera a condição de limiar
h\nu_0=\varphi.
Desse modo a frequência mínima (de corte) é
\nu_0=\frac{\varphi}{h}.
O comprimento de onda de corte \lambda_0 está ligado à frequência por
\lambda_0=\frac{c}{\nu_0},
onde \;c\; é a velocidade da luz no vácuo. Substitindo \nu_0 nesta expressão obtemos também
\lambda_0=\frac{hc}{\varphi}.
Explicando as variáveis: \varphi em joules (J), h em \mathrm{J\cdot s}, c em \mathrm{m/s}, então \nu_0 vem em hertz (\mathrm{Hz}) e \lambda_0 em metros (\mathrm{m}).

Passo 3

Primeiro passo numérico: converter \varphi de \mathrm{eV} para \mathrm{J}. A relação é
1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Logo
\varphi = 2,5\\ \mathrm{eV} = 2,5\times\bigl(1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\bigr).
Calculemos:
\varphi = 4,005441585\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Agora usamos a constante de Planck com valor
h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
A frequência mínima é
\nu_0=\frac{\varphi}{h}=\frac{4,005441585\times10^{-19}}{6,62607015\times10^{-34}}\\ \mathrm{Hz}.
Faço a divisão em duas partes: mantissas e potências de 10.
\frac{4,005441585}{6,62607015}\approx0,6043429
e o fator de potência é 10^{-19-(-34)}=10^{15}. Portanto
\nu_0\approx0,6043429\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}=6,043429\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação: qualquer radiação com \nu\ge\nu_0 terá fótons com energia suficiente para arrancar elétrons; para \nu<\nu_0 não ocorre fotoemissão.

Passo 5

Cálculo do comprimento de onda de corte usando \lambda_0=\dfrac{c}{\nu_0}. Usarei c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
\lambda_0=\frac{2,99792458\times10^{8}}{6,043429\times10^{14}}\\ \mathrm{m}.
Novamente dividindo mantissas e potências:
\frac{2,99792458}{6,043429}\approx0,49636
e o fator de potência é 10^{8-14}=10^{-6}. Logo
\lambda_0\approx0,49636\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=4,9636\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
É usual expressar em nanômetros: 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}, então
\lambda_0\approx496,36\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Interpretação física e arredondamento prático: o valor calculado tem precisão limitada pelas constantes e algarismos fornecidos; arredondando para três algarismos significativos temos
\nu_0\approx6,04\times10^{14}\\ \mathrm{Hz} e \lambda_0\approx496\\ \mathrm{nm}.
Lembrete prático para prova: se a luz tem comprimento de onda maior que \lambda_0 (ex.: 600\\ \mathrm{nm}) não haverá efeito fotoelétrico; se tem comprimento menor (ex.: 400\\ \mathrm{nm}) haverá emissão e os elétrons sairão com energia cinética igual a h\nu-\varphi.

Resposta

\nu_0=6,043429\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
\lambda_0=4,9636\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=496,36\\ \mathrm{nm}

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