Uma atração que está se tornando muito popular nos parques de diversão consiste em uma plataforma que despenca, a partir do repouso, em queda livre de uma altura de 75 m . Quando a plataforma se encontra 30 m acima do solo, ela passa a ser freada por uma força constante e atinge o repouso quando chega ao solo. Dado \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, responda:
a) Qual é a velocidade da plataforma quando o freio é acionado?
b) Qual é o módulo da aceleração (supondo-a constante) necessária para imobilizar a plataforma?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • A plataforma parte do repouso do topo a uma altura de \,75\\ \mathrm{m}\, acima do solo.
  • Quando a plataforma está a \,30\\ \mathrm{m}\, acima do solo o freio é acionado (ou seja, ela já caiu uma certa distância antes do freio).
  • A aceleração da gravidade é \,g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
  • Pergunta (a): Qual é a velocidade da plataforma no instante em que o freio é acionado?
  • Pergunta (b): Qual é o módulo da aceleração constante necessária para imobilizar a plataforma exatamente ao chegar ao solo?

Passo 2

Entender o movimento antes do freio e a fórmula a usar.
Quando a plataforma cai em queda livre a partir do repouso com aceleração constante \,g\,, uma relação útil da cinemática para movimentos com aceleração constante é
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta y,
onde:
  • \,v\, é a velocidade final (no ponto de interesse),
  • \,v_{0}\, é a velocidade inicial,
  • \,a\, é a aceleração constante,
  • \,\Delta y\, é a variação de posição na direção do movimento (distância percorrida na direção da aceleração).
Breve justificativa dessa fórmula: ela é obtida eliminando o tempo entre v=v_{0}+a t e \Delta y=v_{0}t+\tfrac{1}{2}at^{2}. Não é preciso decorar “às cegas”: serve sempre que a aceleração for constante.
No nosso caso, antes do freio:
  • a plataforma parte do repouso, logo \,v_{0}=0,
  • a aceleração é \,a=g=10\\ \mathrm{m/s^{2}},
  • a distância caída até o ponto onde o freio entra é \,\Delta y=75-30=45\\ \mathrm{m} (a distância percorrida durante a queda livre).

Passo 3

Calcular a velocidade no momento do acionamento do freio.
Usando a fórmula com \,v_{0}=0\,, \,a=g\, e \,\Delta y=45\\ \mathrm{m}:
v^{2}=0+2\cdot g\cdot 45.
Substituindo g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:
v^{2}=2\cdot 10\cdot 45=900.
Logo
v=\sqrt{900}=30\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade imediatamente antes do freio é \,30\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar a desaceleração constante necessária para imobilizar a plataforma nos últimos \,30\\ \mathrm{m}\,.
Para parar com aceleração constante em uma distância \,s\, quando se tem velocidade inicial \,v\, e velocidade final 0, a fórmula da cinemática pode ser rearranjada para dar o módulo da desaceleração:
0 = v^{2} - 2a_{\text{mag}}\,s \quad\Rightarrow\quad a_{\text{mag}}=\frac{v^{2}}{2s},
onde \,a_{\text{mag}}\, é o módulo da aceleração aplicada contra o movimento (uma desaceleração), v é a velocidade inicial e s a distância disponível para parar.
Aqui v=30\\ \mathrm{m/s} (do Passo 3) e s=30\\ \mathrm{m}. Então
a_{\text{mag}}=\frac{30^{2}}{2\cdot 30}=\frac{900}{60}=15\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O sinal desta aceleração é oposto ao movimento (ou seja, dirigida para cima), mas o enunciado pede o módulo, então a resposta é \,15\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.

Passo 5

Interpretação rápida e comentário prático: a desaceleração necessária ( 15\\ \mathrm{m/s^{2}}) é maior que g ( 10\\ \mathrm{m/s^{2}}), ou seja, para parar no espaço de \,30\\ \mathrm{m}\, o freio precisa produzir uma força adicional além do peso que gere essa desaceleração extra. Dá para perceber que quanto menor a distância para parar, maior a desaceleração necessária — fórmula a_{\text{mag}}=v^{2}/(2s) deixa isso claro.
Força um abraço: você já resolveu a parte difícil — é só aplicar essas fórmulas diretas na prova! Vai dar certo.

Resposta

a) 30\\ \mathrm{m/s}
b) 15\\ \mathrm{m/s^{2}}

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