- Seja o raio das partículas idênticas de um gás monoatômico. Ache a seção de choque (ou seção eficaz) das partículas em função de R.
Passo 1
O enunciado dá partículas idênticas de um gás monoatômico, cada uma com raio
, e pede a seção de choque (seção eficaz) das partículas em função de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As partículas são idênticas e podem ser modeladas como esferas rígidas de raio
. - Precisa-se da seção de choque
expressa em função de .
O que é pedido: encontrar uma expressão para
em termos de
.
Passo 2
O que significa “seção de choque” aqui (explicação didática e concreta).
- A seção de choque
é uma área eficaz que mede a probabilidade geométrica de colisão entre duas partículas quando uma passa em relação à outra. - Em termos práticos: se uma partícula alvo está fixa e outra vem com um feixe de partículas, a fração das partículas do feixe que colidem com a alvo é proporcional à razão entre a área de colisão eficaz
e a área total interceptada pelo feixe. - Em cinética dos gases, a taxa de colisões por partícula também se escreve proporcionalmente a
, à densidade e à velocidade relativa. Aqui só usamos a ideia geométrica: colisão ocorre se as trajetórias relativas passam dentro de uma certa área perpendicular ao movimento relativo.
Passo 3
Modelo geométrico e condição de colisão.
- Modelar cada partícula como uma esfera de raio
. - Duas esferas colidem quando as distâncias entre os centros das duas esferas fica menor ou igual a
(porque cada esfera tem raio ). Ou seja, colisão se o centro da partícula incidente passar a uma distância da outra centro menor ou igual a .
Passo 4
Redução geométrica para um problema de “ponto” incidindo sobre um disco.
- É útil passar para o quadro onde a partícula alvo está fixa e a partícula incidente é considerada como um ponto, aumentando-se o raio efetivo do alvo para incorporar o raio da partícula incidente.
- Como as duas têm raio
, o raio efetivo para colisão é . - A condição de colisão então se torna: o ponto (centro da partícula incidente) colide se a sua linha de movimento atravessar a região circular de raio
vista no plano perpendicular à velocidade relativa.
Passo 5
Cálculo da área dessa região (a seção de choque).
- A área de um círculo de raio
é . - Substituindo
obtemos
Passo 6
Simplificação final e forma usual da resposta (explicando cada símbolo).
- Desenvolvendo
obtemos . - Portanto
onde
é a seção de choque (área eficaz de colisão) e
é o raio de cada partícula.