1. Seja o raio das partículas idênticas de um gás monoatômico. Ache a seção de choque (ou seção eficaz) das partículas em função de R.

Passo 1

O enunciado dá partículas idênticas de um gás monoatômico, cada uma com raio R, e pede a seção de choque (seção eficaz) das partículas em função de R.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As partículas são idênticas e podem ser modeladas como esferas rígidas de raio R.
  • Precisa-se da seção de choque \sigma expressa em função de R.
O que é pedido: encontrar uma expressão para \sigma em termos de R.

Passo 2

O que significa “seção de choque” aqui (explicação didática e concreta).
  • A seção de choque \sigma é uma área eficaz que mede a probabilidade geométrica de colisão entre duas partículas quando uma passa em relação à outra.
  • Em termos práticos: se uma partícula alvo está fixa e outra vem com um feixe de partículas, a fração das partículas do feixe que colidem com a alvo é proporcional à razão entre a área de colisão eficaz \sigma e a área total interceptada pelo feixe.
  • Em cinética dos gases, a taxa de colisões por partícula também se escreve proporcionalmente a \sigma, à densidade e à velocidade relativa. Aqui só usamos a ideia geométrica: colisão ocorre se as trajetórias relativas passam dentro de uma certa área perpendicular ao movimento relativo.

Passo 3

Modelo geométrico e condição de colisão.
  • Modelar cada partícula como uma esfera de raio R.
  • Duas esferas colidem quando as distâncias entre os centros das duas esferas fica menor ou igual a 2R (porque cada esfera tem raio R). Ou seja, colisão se o centro da partícula incidente passar a uma distância da outra centro menor ou igual a 2R.

Passo 4

Redução geométrica para um problema de “ponto” incidindo sobre um disco.
  • É útil passar para o quadro onde a partícula alvo está fixa e a partícula incidente é considerada como um ponto, aumentando-se o raio efetivo do alvo para incorporar o raio da partícula incidente.
  • Como as duas têm raio R, o raio efetivo para colisão é R_{\rm ef} = 2R.
  • A condição de colisão então se torna: o ponto (centro da partícula incidente) colide se a sua linha de movimento atravessar a região circular de raio R_{\rm ef}=2R vista no plano perpendicular à velocidade relativa.

Passo 5

Cálculo da área dessa região (a seção de choque).
  • A área de um círculo de raio R_{\rm ef} é \pi R_{\rm ef}^2.
  • Substituindo R_{\rm ef}=2R obtemos
\sigma = \pi (2R)^2.

Passo 6

Simplificação final e forma usual da resposta (explicando cada símbolo).
  • Desenvolvendo (2R)^2 obtemos (2R)^2 = 4R^2.
  • Portanto
\sigma = 4\pi R^2,
onde \sigma é a seção de choque (área eficaz de colisão) e R é o raio de cada partícula.

Resposta

\sigma = 4\pi R^2

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