Através de algum método, determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\,

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Além disso, é natural (e útil para a prova) calcular o valor da soma, se ela convergir.
Informações relevantes:
  • O termo geral é a_k=\dfrac{k}{5^{k}}.
  • A soma é sobre k=1,2,3,\dots.

Passo 2

Estratégia: reconhecer que \dfrac{k}{5^{k}} é do tipo k r^{k} com r=\dfrac{1}{5}. Existe uma fórmula fechada para somas do tipo \sum_{k=1}^{\infty} k r^{k} quando |r|<1; vou derivá-la a partir da soma geométrica e assim obter a soma exata. Para segurança, também uso o teste da razão como verificação de convergência absoluta (método simples e bem direto).

Passo 3

Lembrando a soma da série geométrica: para |r|<1,
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Explicando rápido porquê: a soma parcial até n é \dfrac{1-r^{n+1}}{1-r}; quando |r|<1 temos r^{n+1}\to0 quando n\to\infty, logo o limite da soma parcial é \dfrac{1}{1-r}.
Aqui r é a razão comum da série geométrica; no nosso caso vamos escolher r=\dfrac{1}{5}, que satisfaz |r|<1.

Passo 4

Agora derive a fórmula para \sum_{k=1}^{\infty} k r^{k}. Começo a partir de
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Diferenciando termo a termo em relação a r (procedimento válido para séries de potências dentro do raio de convergência |r|<1) obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.
Aqui cada termo r^{k} ao ser diferenciado vira k r^{k-1}; e o lado direito vem de diferenciar (1-r)^{-1}.

Passo 5

Multiplicando a igualdade do passo anterior por r obtemos a soma desejada:
\sum_{k=1}^{\infty} k r^{k}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Esta é a fórmula que usaremos com r=\dfrac{1}{5}.

Passo 6

Substituindo r=\dfrac{1}{5} na fórmula:
\sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{1}{5}\right)^{k}=\frac{\tfrac{1}{5}}{\left(1-\tfrac{1}{5}\right)^{2}}.
Calcule passo a passo o denominador:
1-\tfrac{1}{5}=\tfrac{4}{5},\qquad \left(\tfrac{4}{5}\right)^{2}=\tfrac{16}{25}.
Agora a divisão:
\frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{16}{25}}=\tfrac{1}{5}\cdot\frac{25}{16}=\frac{25}{80}=\frac{5}{16}.

Passo 7

Verificação pela razão (confirma convergência absoluta): o termo geral é a_k=\dfrac{k}{5^{k}}. Calcule
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| =\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k}\cdot\frac{1}{5} =\frac{1}{5}<1.
Como o limite da razão é menor que 1, a série converge absolutamente. Isso confirma a convergência encontrada e justifica que a soma calculada é finita.

Resposta

A série é convergente e \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{5^{k}}=\frac{5}{16}

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