1- Através do cálculo da densidade planar do plano (111) da estrutura CFC e do calculo da densidade planar do plano (110) da estrutura CCC justifique porque o plano (111) da estrutura CFC é mais compacto.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a densidade planar do plano (111) da estrutura CFC e a densidade planar do plano (110) da estrutura CCC e, a partir desses cálculos, justifique por que o plano (111) da CFC é mais compacto.
Informações dadas (implícitas no enunciado): as estruturas cristalinas são cúbicas convencionais; vamos usar o parâmetro de rede da cela cúbica convencional denotado por a. Não há outros dados numéricos — a comparação será feita em função de a.

Passo 2

O que é densidade planar e como vamos calcular:
A densidade planar (PD) de um plano cristalino é o número de átomos cujos centros pertencem ao plano dividido pela área da célula bidimensional (a malha) desse plano. Em etapas práticas para a prova: (1) escolher uma malha bidimensional primitiva do plano (um “retângulo” ou “hexágono” que gera toda a rede 2D do plano por translação), (2) contar quantos átomos pertencem a essa malha (contando frações de átomos compartilhados com células vizinhas), (3) calcular a área dessa malha e (4) dividir o número de átomos pela área. Vou aplicar isso primeiro para CFC (111) e depois para CCC (BCC) (110).

Passo 3

Densidade planar do plano (111) na CFC — geometria e contagem de átomos.
Na CFC os átomos estão nos cantos (0,0,0),\dots (cada um com fração 1/8 na cela) e nos centros das faces (\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},0), etc. O plano (111) corta a celula formando uma rede bidimensional hexagonal (arranjo compacto). A malha 2D primitiva desse plano é um losango/hexágono equivalente que contém exatamente 1 átomo efetivo por célula primitiva 2D (essa é uma propriedade padrão: o plano (111) da CFC é uma reticulado hexagonal próximo-compacto com 1 átomo por célula primitiva 2D).
Agora calculamos a área dessa célula primitiva 2D. A distância entre vizinhos mais próximos no plano (111) (a distância intermolecular na rede 2D) é
d_{\text{NN}}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Explicação rápida desse valor: em CFC os vizinhos mais próximos estão ao longo das diagonais das faces, cujo comprimento é a/\sqrt{2}. A célula primitiva 2D é um paralelogramo/hexágono cuja área (para a rede hexagonal) é
\text{Área}_{2D}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,d_{\text{NN}}^{2}.Á
Substituindo d_{\text{NN}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}} obtemos
\text{Área}_{2D}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a^{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}\,a^{2}}{4}.Á
Como há exatamente 1 átomo por célula primitiva 2D, a densidade planar do plano (111) da CFC é
\text{PD}_{\text{CFC}\,(111)}=\frac{1}{\text{Área}_{2D}}=\frac{1}{\dfrac{\sqrt{3}\,a^{2}}{4}}=\frac{4}{\sqrt{3}\,a^{2}}.Á

Passo 4

Comentário pedagógico sobre o passo anterior (como lembrar rápido na prova):
  • Lembre-se: plano (111) em CFC é a camada compacta (hexagonal) — célula 2D primitiva contém 1 átomo; área \frac{\sqrt{3}}{2}(\text{lattice constant in plane})^{2}.
  • Se ficar na dúvida, desenhe um triângulo equilátero formado pelos centros atômicos no plano (111); o lado do triângulo é a/\sqrt{2} e a área do triângulo/equivalente leva à expressão acima.

Passo 5

Densidade planar do plano (110) na CCC (estrutura BCC) — escolha da malha e contagem de átomos.
Na estrutura CCC do tipo BCC temos átomos nos cantos e um átomo no centro do corpo (\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}). Considere um plano da família (110). Uma escolha conveniente de malha 2D para esse plano é o retângulo gerado pelos vetores de rede (em unidades de comprimento)
\mathbf{u}=a\,(1,-1,0),\qquad \mathbf{v}=a\,(0,0,1).
Esses vetores estão contidos no plano (110) (pois têm produto escalar nulo com o normal [1,1,0]) e geram uma malha retangular cuja área vale
\text{Área}_{2D} = |\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = a^{2}\sqrt{2}.Á
Agora contamos quantos átomos têm seus centros exatamente sobre esse retângulo: nas quatro esquinas do retângulo há pontos de rede (átomos de canto), cada um é compartilhado por 4 células 2D vizinhas (na malha 2D), então soma 4\times \tfrac{1}{4}=1 átomo da contribuição das esquinas. Além disso, o átomo de centro de corpo (\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2},\tfrac{a}{2}) pertence a este plano específico (110) deslocado (por exemplo o plano x+y=a), e esse átomo fica totalmente dentro do retângulo (não é compartilhado com outra malha 2D idêntica), portanto contribui com 1 átomo inteiro. Assim o número total de átomos por célula 2D escolhida é
N_{\text{átomos}}=1 (\text{dos cantos}) + 1 (\text{do corpo}) = 2.á

Passo 6

Cálculo da densidade planar para BCC (110).
Com N_{\text{átomos}}=2á e \text{Área}_{2D}=a^{2}\sqrt{2}Á, a densidade planar é
\text{PD}_{\text{CCC(BCC)}\,(110)}=\frac{2}{a^{2}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{a^{2}}.
Breve explicação: \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, daí a forma simplificada.

Passo 7

Comparação e justificativa final — por que (111) da CFC é mais compacto.
As duas expressões obtidas são
\text{PD}_{\text{CFC}\,(111)}=\frac{4}{\sqrt{3}\,a^{2}}\qquad\text{e}\qquad \text{PD}_{\text{CCC(BCC)}\,(110)}=\frac{\sqrt{2}}{a^{2}}.
Ambas escalam como 1/a^{2}, então a razão entre elas independe de a. Vamos computar a razão:
\frac{\text{PD}_{\text{CFC}\,(111)}}{\text{PD}_{\text{CCC}\,(110)}}=\frac{\dfrac{4}{\sqrt{3}\,a^{2}}}{\dfrac{\sqrt{2}}{a^{2}}} =\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{6}}{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx 1{,}63.
Como a razão é maior que 1 (aproximadamente 1{,}63), concluímos que o plano (111) da CFC possui maior número de átomos por unidade de área — ou seja, é mais compacto — do que o plano (110) da CCC. Intuitivamente: o empacotamento hexagonal presente no plano (111) da CFC é a maneira mais eficiente de arranjar esferas em 2D, por isso dá maior densidade planar do que a disposição retangular que aparece no plano (110) da BCC.

Resposta

\text{PD}_{\text{CFC}\,(111)}=\dfrac{4}{\sqrt{3}\,a^{2}}
\text{PD}_{\text{CCC(BCC)}\,(110)}=\dfrac{\sqrt{2}}{a^{2}}
O plano (111) da CFC é mais compacto porque \dfrac{\text{PD}_{\text{CFC}\,(111)}}{\text{PD}_{\text{CCC}\,(110)}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\approx 1{,}63>1, ou seja, há aproximadamente 63\% mais átomos por unidade de área no plano (111) da CFC do que no plano (110) da CCC.

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