1- Através do cálculo da densidade planar do plano (111) da estrutura CFC e do calculo da densidade planar do plano (110) da estrutura CCC justifique porque o plano (111) da estrutura CFC é mais compacto.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a densidade planar do plano
da estrutura CFC e a densidade planar do plano
da estrutura CCC e, a partir desses cálculos, justifique por que o plano
da CFC é mais compacto.
Informações dadas (implícitas no enunciado): as estruturas cristalinas são cúbicas convencionais; vamos usar o parâmetro de rede da cela cúbica convencional denotado por . Não há outros dados numéricos — a comparação será feita em função de
.
Informações dadas (implícitas no enunciado): as estruturas cristalinas são cúbicas convencionais; vamos usar o parâmetro de rede da cela cúbica convencional denotado por
Passo 2
O que é densidade planar e como vamos calcular:
A densidade planar (PD) de um plano cristalino é o número de átomos cujos centros pertencem ao plano dividido pela área da célula bidimensional (a malha) desse plano. Em etapas práticas para a prova: (1) escolher uma malha bidimensional primitiva do plano (um “retângulo” ou “hexágono” que gera toda a rede 2D do plano por translação), (2) contar quantos átomos pertencem a essa malha (contando frações de átomos compartilhados com células vizinhas), (3) calcular a área dessa malha e (4) dividir o número de átomos pela área. Vou aplicar isso primeiro para CFC e depois para CCC (BCC)
.
A densidade planar (PD) de um plano cristalino é o número de átomos cujos centros pertencem ao plano dividido pela área da célula bidimensional (a malha) desse plano. Em etapas práticas para a prova: (1) escolher uma malha bidimensional primitiva do plano (um “retângulo” ou “hexágono” que gera toda a rede 2D do plano por translação), (2) contar quantos átomos pertencem a essa malha (contando frações de átomos compartilhados com células vizinhas), (3) calcular a área dessa malha e (4) dividir o número de átomos pela área. Vou aplicar isso primeiro para CFC
Passo 3
Densidade planar do plano
na CFC — geometria e contagem de átomos.
Na CFC os átomos estão nos cantos (cada um com fração
na cela) e nos centros das faces
, etc. O plano
corta a celula formando uma rede bidimensional hexagonal (arranjo compacto). A malha 2D primitiva desse plano é um losango/hexágono equivalente que contém exatamente 1 átomo efetivo por célula primitiva 2D (essa é uma propriedade padrão: o plano
da CFC é uma reticulado hexagonal próximo-compacto com 1 átomo por célula primitiva 2D).
Agora calculamos a área dessa célula primitiva 2D. A distância entre vizinhos mais próximos no plano (a distância intermolecular na rede 2D) é
Na CFC os átomos estão nos cantos
Agora calculamos a área dessa célula primitiva 2D. A distância entre vizinhos mais próximos no plano
Explicação rápida desse valor: em CFC os vizinhos mais próximos estão ao longo das diagonais das faces, cujo comprimento é
. A célula primitiva 2D é um paralelogramo/hexágono cuja área (para a rede hexagonal) é
Substituindo
obtemos
Como há exatamente 1 átomo por célula primitiva 2D, a densidade planar do plano
da CFC é
Passo 4
Comentário pedagógico sobre o passo anterior (como lembrar rápido na prova):
- Lembre-se: plano
em CFC é a camada compacta (hexagonal) — célula 2D primitiva contém 1 átomo; área . - Se ficar na dúvida, desenhe um triângulo equilátero formado pelos centros atômicos no plano
; o lado do triângulo é e a área do triângulo/equivalente leva à expressão acima.
Passo 5
Densidade planar do plano
na CCC (estrutura BCC) — escolha da malha e contagem de átomos.
Na estrutura CCC do tipo BCC temos átomos nos cantos e um átomo no centro do corpo . Considere um plano da família
. Uma escolha conveniente de malha 2D para esse plano é o retângulo gerado pelos vetores de rede (em unidades de comprimento)
Na estrutura CCC do tipo BCC temos átomos nos cantos e um átomo no centro do corpo
Esses vetores estão contidos no plano
(pois têm produto escalar nulo com o normal
) e geram uma malha retangular cuja área vale
Agora contamos quantos átomos têm seus centros exatamente sobre esse retângulo: nas quatro esquinas do retângulo há pontos de rede (átomos de canto), cada um é compartilhado por 4 células 2D vizinhas (na malha 2D), então soma
átomo da contribuição das esquinas. Além disso, o átomo de centro de corpo
pertence a este plano específico
deslocado (por exemplo o plano
), e esse átomo fica totalmente dentro do retângulo (não é compartilhado com outra malha 2D idêntica), portanto contribui com
átomo inteiro. Assim o número total de átomos por célula 2D escolhida é
Passo 6
Cálculo da densidade planar para BCC
.
Com e
, a densidade planar é
Com
Breve explicação:
, daí a forma simplificada.
Passo 7
Comparação e justificativa final — por que
da CFC é mais compacto.
As duas expressões obtidas são
As duas expressões obtidas são
Ambas escalam como
, então a razão entre elas independe de
. Vamos computar a razão:
Como a razão é maior que
(aproximadamente
), concluímos que o plano
da CFC possui maior número de átomos por unidade de área — ou seja, é mais compacto — do que o plano
da CCC. Intuitivamente: o empacotamento hexagonal presente no plano
da CFC é a maneira mais eficiente de arranjar esferas em 2D, por isso dá maior densidade planar do que a disposição retangular que aparece no plano
da BCC.
Resposta
O plano