Um ensaio de flexão em três pontos é conduzido sobre um bloco de carbeto de silício que possui 10 cm de comprimento, 1,5 \mathrm{~cm} de largura e 0,6 \mathrm{~cm} de espessura. A distância entre os suportes é de 7,5 \mathrm{~cm}. A amostra fratura-se com quando se registra uma deflexão de 0,09 \mathrm{~mm}. O módulo de flexão para o carbeto de silício é de 480 GPa . Assuma que não ocorreu deformação plástica. Calcule: ( \mathbf{2 , 0} pontos)
a) a força que causou a fratura;
b) a resistência à flexão.

Passo 1

O enunciado descreve um ensaio de flexão em três pontos sobre um bloco de carbeto de silício e pede duas coisas: (a) a força que causou a fratura e (b) a resistência à flexão. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente para não nos perdermos):
\text{comprimento total do corpo} = 10\\ \text{cm} \quad(\text{não usado diretamente})ã
\text{distância entre os suportes (vão)} = L = 7{,}5\\ \text{cm} = 0{,}075\\ \text{m}âã
\text{largura da seção} = b = 1{,}5\\ \text{cm} = 0{,}015\\ \text{m}çã
\text{espessura (altura) da seção} = h = 0{,}6\\ \text{cm} = 0{,}006\\ \text{m}çã
\text{deflexão registrada na fratura (no centro)} = \delta = 0{,}09\\ \text{mm} = 9\times 10^{-5}\\ \text{m}ã
\text{módulo de Young (módulo de flexão)} = E = 480\\ \text{GPa} = 480\times 10^{9}\\ \text{Pa}óóã
Perguntas:
  1. Calcular a força F que causou a fratura.
  2. Calcular a resistência à flexão (módulo de ruptura) \sigma_f.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicadinho e bem mastigado):
  1. Deflexão central para uma viga simplesmente apoiada com carga concentrada F no meio do vão L:
\delta = \dfrac{F L^{3}}{48 E I}
Aqui:
  • \delta é a deflexão no centro (m),
  • F é a força central (N),
  • L é o vão entre os suportes (m),
  • E é o módulo de Young (Pa),
  • I é o momento de inércia da seção transversal (m^{4}).
Essa fórmula vem da solução clássica da equação da elástica para uma carga central numa viga simplesmente apoiada — ela relaciona quanto a viga entorta ( \delta) com a carga aplicada, levando em conta rigidez geométrica ( I) e rigidez do material ( E).
  1. Para uma seção retangular (largura b e altura h), o momento de inércia em relação ao eixo neutro horizontal é
I = \dfrac{b h^{3}}{12}.
Aqui b e h estão em metros e I sai em \mathrm{m}^{4}.
  1. Tensão máxima de flexão no centro (fibra inferior/superior) para carga central F:
\sigma_f = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{F L}{b h^{2}}.
Derivação rápida: o momento máximo é M_{\max}=F L/4; tensão na fibra é \sigma = M c / I com c=h/2. Substituindo I dá a expressão acima.
Plano de ataque: calcular I (Passo 3), usar a fórmula da deflexão para isolar F e calcular numericamente (Passo 4), depois usar F na fórmula da tensão para obter \sigma_f (Passo 5).

Passo 3

Calcular o momento de inércia da seção retangular:
I = \dfrac{b h^{3}}{12}.
Substituindo b=0{,}015\\ \mathrm{m} e h=0{,}006\\ \mathrm{m}:
h^{3} = (0{,}006)^{3} = 2{,}16\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^{3},
b h^{3} = 0{,}015 \times 2{,}16\times 10^{-7} = 3{,}24\times 10^{-9}\\ \mathrm{m}^{4},
I = \dfrac{3{,}24\times 10^{-9}}{12} = 2{,}70\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}^{4}.

Passo 4

Usar a fórmula da deflexão para achar F. Reescrevendo a fórmula isolando F:
F = \dfrac{48 E I \,\delta}{L^{3}}.
Substituindo os valores numéricos:
E I = 480\times 10^{9}\times 2{,}70\times 10^{-10} = 129{,}6\\ \text{(N·m}^{2}\text{)},
48 E I = 48 \times 129{,}6 = 6\,220{,}8,
48 E I \,\delta = 6\,220{,}8 \times 9\times 10^{-5} = 0{,}559872,
L^{3} = (0{,}075)^{3} = 0{,}000421875.
Logo
F = \dfrac{0{,}559872}{0{,}000421875} = 1{,}327104\times 10^{3}\\ \mathrm{N}.
Arredondando com sentido prático (duas casas significativas razoáveis aqui):
F \approx 1{,}33\times 10^{3}\\ \mathrm{N} \quad(\text{ou }1{,}33\\ \mathrm{kN}).

Passo 5

Agora calculamos a resistência à flexão (módulo de ruptura) \sigma_f usando a fórmula:
\sigma_f = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{F L}{b h^{2}}.
Substituindo F=1{,}327104\times 10^{3}\\ \mathrm{N}, L=0{,}075\\ \mathrm{m}, b=0{,}015\\ \mathrm{m}, h=0{,}006\\ \mathrm{m}:
h^{2} = (0{,}006)^{2} = 3{,}6\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2},
b h^{2} = 0{,}015 \times 3{,}6\times 10^{-5} = 5{,}4\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^{3},
\text{numerador} = \dfrac{3}{2}\,F L = 1{,}5 \times 1{,}327104\times 10^{3}\times 0{,}075 = 149{,}2992,
\sigma_f = \dfrac{149{,}2992}{5{,}4\times 10^{-7}} = 2{,}76474074\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para MPa:
\sigma_f \approx 276{,}5\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando de forma prática:
\sigma_f \approx 2{,}76\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa} \;(\approx 276\\ \mathrm{MPa}).

Resposta

F \approx 1{,}33\times 10^{3}\\ \mathrm{N}\n
\sigma_f \approx 2{,}76\times 10^{8}\\ \mathrm{Pa}\;(\approx 276\\ \mathrm{MPa})

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