Através de derivação implícita, mostre que:
dd x[arccos x]=-1raiz1-x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de arccos x usando derivação implícita. O conteúdo que vamos usar é a relação entre uma função inversa e a função direta, mais a diferençação de funções trigonométricas.

Passo 2

Defina
y = arccos x,
o que implica
x = cos y
Agora, derive ambos os lados em relação a x:
ddx(x) = ddx(cos y) Longrightarrow 1 = -sin y,dydx
Isolando dydx obtemos
dydx = -1sin y

Passo 3

Para eliminar sin y, use a identidade trigonométrica
sin^2 y + cos^2 y = 1
Como cos y = x, temos
sin y = raiz1 - cos^2 y = raiz1 - x^2
Além disso, no intervalo de arccos, isto é, yin(0,pi), a sin y é não negativa, então a raiz positiva é a correta.

Passo 4

Substituindo sin y = raiz1-x^2 em
dydx = -1sin y,
chegamos a
dydx = -1raiz1 - x^2

Resposta

dd x[arccos x] = -1raiz1 - x^2

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