Seja
a função
, ou seja, a função que associa cada polinômio
ao elemento
definido no item 2). Mostre que
é um isomorfismo. (Dica: Como
e
têm a mesma dimensão, basta provar que
é uma transformação linear injetora. Para mostrar que
é injetora, use as funções
do item 1).
Passo 1
O enunciado define a aplicação
por
onde
é o funcional em
dado por
Queremos mostrar que
é isomorfismo. Como
, basta provar que
é linear e injetora.
Passo 2
Para a linearidade, tomemos
e
. Para todo
vale
logo
. De modo análogo,
e assim
. Portanto
é linear.
Passo 3
Para a injetividade, suponha
. Então
para todo
. Em particular, usando os funcionais
do item 1, definidos por
, temos
para todo
. Assim o polinômio
tem infinitos zeros e, como
, segue
, isto é,
. Logo
é injetora.
Passo 4
Concluímos que
é linear e injetora. Como
, a injetividade implica sobrejetividade, e portanto
é um isomorfismo.