Seja L: Pn Pn^* * a função L(p)=Lp, ou seja, a função que associa cada polinômio p ao elemento Lp definido no item 2). Mostre que L é um isomorfismo. (Dica: Como Pn e Pn^* * têm a mesma dimensão, basta provar que L é uma transformação linear injetora. Para mostrar que L é injetora, use as funções fa do item 1).

Passo 1

O enunciado define a aplicação Lcolon Pn to Pn^** por
L(p)=Lp,
onde Lp é o funcional em Pn^* dado por
Lp(f)=f(p)
Queremos mostrar que L é isomorfismo. Como dimPn=dimPn^**=n+1, basta provar que L é linear e injetora.

Passo 2

Para a linearidade, tomemos p,qinPn e alphainK. Para todo finPn^* vale
Lp+q(f)=f(p+q)=f(p)+f(q)=Lp(f)+Lq(f),
logo L(p+q)=L(p)+L(q). De modo análogo,
Lalpha p(f)=f(alpha p)=alpha f(p)=alpha Lp(f),
e assim L(alpha p)=alpha L(p). Portanto L é linear.

Passo 3

Para a injetividade, suponha L(p)=L(q). Então Lp(f)=Lq(f) para todo finPn^*. Em particular, usando os funcionais fa do item 1, definidos por fa(r)=r(a), temos
p(a)=fa(p)=Lp(fa)=Lq(fa)=fa(q)=q(a)
para todo a. Assim o polinômio p-q tem infinitos zeros e, como deg(p-q)<= n, segue p-q=0, isto é, p=q. Logo L é injetora.

Passo 4

Concluímos que L é linear e injetora. Como dimPn=dimPn^**, a injetividade implica sobrejetividade, e portanto L é um isomorfismo.

Resposta

L é um isomorfismo.

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