Derive, pela definição
cot (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de cot(x) usando a definição de derivada. Vamos usar
f(x)=cot(x), f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h,
e a identidade trigonométrica para simplificar o numerador.

Passo 2

Escrevendo diretamente pela definição de derivada, temos
f'(x) = limhto0cot(x+h)-cot(x)h

Passo 3

Substituindo cot(t)=cos tsin t e colocando tudo sobre um único quociente,
cot(x+h)-cot(x) = cos(x+h)sin(x+h) - cos xsin x = cos(x+h),sin x ;-;cos x,sin(x+h)sin(x+h),sin x

Passo 4

Reconhecemos a identidade
cos(x+h),sin x ;-;cos x,sin(x+h) = -sin(h)
Logo a diferença quociente vira
cot(x+h)-cot(x)h = -sin(h)h;sin(x+h),sin x

Passo 5

Agora tomamos o limite hto0. Sabemos que limhto0sin(h)h=1 e sin(x+h)tosin(x). Assim
f'(x) = limhto0-sin(h)h,sin(x+h),sin x = -1sin^2(x) = -csc^2(x)

Resposta

ddxcot(x) = -csc^2(x)

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