1. Através das derivadas, estude o que for importante e faça o gráfico de y=2 x^29-x^2.

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função racional
y = 2x^29 - x^2
usando derivadas. Vamos analisar domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade e pontos de inflexão, e depois esboçar o gráfico.

Passo 2

Determinar domínio, zeros e assíntotas:
O denominador 9 - x^2 não pode ser zero, logo o domínio é
xinRmid xneq -3,;xneq 3
Os zeros de y vêm de 2x^2=0, isto é, x=0, logo intercepto em (0,0).
Para xtopm3, o denominador tende a zero, gerando assíntotas verticais em
x = -3 e x = 3
Para lvert xrverttoinfty,
y = 2x^29 - x^2 = -2 + 189 - x^2 longrightarrow -2,
logo há assíntota horizontal
y = -2

Passo 3

Estudar monotonicidade e extremos com a primeira derivada:
Calcule
y' = ddxl(2x^29 - x^2r) = 36x(9 - x^2)^2
O denominador é sempre positivo no domínio; o sinal de y' vem de 36x. Assim:
  • Para x<0, y'<0: função decrescente.
  • Para x>0, y'>0: função crescente.
Há ponto crítico em x=0. Como a função troca de decrescente para crescente, x=0 é mínimo local, com y(0)=0.

Passo 4

Estudar concavidade com a segunda derivada:
Calcule
y'' = 36(9+3x^2)(9 - x^2)(9 - x^2)^4
O fator 9+3x^2 é sempre positivo; o sinal de y'' vem de (9 - x^2):
  • Para lvert xrvert<3, 9 - x^2>0 Rightarrow y''>0: concavidade para cima.
  • Para lvert xrvert>3, 9 - x^2<0 Rightarrow y''<0: concavidade para baixo.
Não há mudança de concavidade dentro de cada ramo do domínio (não há pontos de inflexão em Rsetminuspm3).

Passo 5

Esboçar o gráfico:
Ramo central ( -3<x<3):
  • Vai de +infty em xto -3^+, decresce até o mínimo (0,0), depois cresce para +infty em xto3^-.
  • É sempre positivo e concavo para cima.
Ramos externos ( x<-3 e x>3):
  • Para xtopm3^mp, yto -infty.
  • No ramo à direita ( x>3), cresce de -infty para a assíntota horizontal y=-2 (por baixo).
  • No ramo à esquerda ( x<-3), decresce de -2 (por baixo) para -infty.
  • Ambos são concavos para baixo.
As assíntotas verticais são x=-3 e x=3, e a horizontal é y=-2.

Resposta

O gráfico de y=2x^29 - x^2 apresenta:
  • Domínio xneq pm3.
  • Intercepto em (0,0).
  • Assíntotas verticais x=-3 e x=3.
  • Assíntota horizontal y=-2.
  • Mínimo local em (0,0).
  • Concavidade para cima em -3<x<3 e para baixo em lvert xrvert>3.

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