- Através das derivadas, estude o que for importante e faça o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função racional
usando derivadas. Vamos analisar domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade e pontos de inflexão, e depois esboçar o gráfico.
Passo 2
Determinar domínio, zeros e assíntotas:
O denominador
não pode ser zero, logo o domínio é
Os zeros de
vêm de
, isto é,
, logo intercepto em
.
Para
, o denominador tende a zero, gerando assíntotas verticais em
Para
,
logo há assíntota horizontal
Passo 3
Estudar monotonicidade e extremos com a primeira derivada:
Calcule
O denominador é sempre positivo no domínio; o sinal de
vem de
. Assim:
- Para
, : função decrescente. - Para
, : função crescente.
Há ponto crítico em
. Como a função troca de decrescente para crescente,
é mínimo local, com
.
Passo 4
Estudar concavidade com a segunda derivada:
Calcule
O fator
é sempre positivo; o sinal de
vem de
:
- Para
, : concavidade para cima. - Para
, : concavidade para baixo.
Não há mudança de concavidade dentro de cada ramo do domínio (não há pontos de inflexão em
).
Passo 5
Esboçar o gráfico:
Ramo central (
):
- Vai de
em , decresce até o mínimo , depois cresce para em . - É sempre positivo e concavo para cima.
Ramos externos (
e
):
- Para
, . - No ramo à direita (
), cresce de para a assíntota horizontal (por baixo). - No ramo à esquerda (
), decresce de (por baixo) para . - Ambos são concavos para baixo.
As assíntotas verticais são
e
, e a horizontal é
.
Resposta
O gráfico de
apresenta:
- Domínio
. - Intercepto em
. - Assíntotas verticais
e . - Assíntota horizontal
. - Mínimo local em
. - Concavidade para cima em
e para baixo em .