Exercício 3. (Apostol seção 1.10 exercícios 1 a 10) Quais dos seguintes subconjuntos S subset R^3 são subespaços vetoriais? Determine a dimensão, quando forem subespaços. Denotamos os elementos de R^3 por (x, y, z).
y=2 x e z=3 x.

Passo 1

O enunciado define
S = (x,y,z)inR^3 mid y=2x,;z=3x.
O conteúdo aqui é verificar se S é subespaço vetorial de R^3. Para isso, precisamos checar:
  1. se o vetor zero está em S;
  2. se S é fechado sob soma;
  3. se S é fechado sob multiplicação escalar.
    Se tudo der certo, encontraremos uma base e a dimensão de S.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a S. Basta ver que, para x=0, temos
y=2cdot 0=0, z=3cdot 0=0,
logo (0,0,0) satisfaz as duas equações e está em S.

Passo 3

Agora a soma. Tomemos
v=(x1,2x1,3x1)in S e w=(x2,2x2,3x2)in S
Então
v+w=(x1+x2,;2x1+2x2,;3x1+3x2) =(x1+x2,;2(x1+x2),;3(x1+x2)),
que de novo satisfaz y=2x e z=3x. Logo v+win S.

Passo 4

Agora o produto por escalar. Seja lambdainR e
v=(x,2x,3x)in S
Então
lambda v=(lambda x,;2lambda x,;3lambda x) =(tilde x,;2tilde x,;3tilde x) com tilde x=lambda x,
logo lambda v também satisfaz y=2x e z=3x. Portanto lambda vin S.

Passo 5

Como S contém o zero, é fechado em soma e em produto escalar, concluímos que S é um subespaço de R^3. Além disso, todo vetor em S pode ser escrito como
(x,2x,3x) =x,(1,2,3)
Assim (1,2,3) é uma base de S e
dim(S)=1

Resposta

S é subespaço vetorial de R^3 e dim(S)=1.

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