Exercício 3. (Apostol seção 1.10 exercícios 1 a 10) Quais dos seguintes subconjuntos
são subespaços vetoriais? Determine a dimensão, quando forem subespaços. Denotamos os elementos de
por
.
e
.
Passo 1
O enunciado define
.
O conteúdo aqui é verificar se é subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos checar:
O conteúdo aqui é verificar se
- se o vetor zero está em
; - se
é fechado sob soma; - se
é fechado sob multiplicação escalar.
Se tudo der certo, encontraremos uma base e a dimensão de.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Basta ver que, para
, temos
logo
satisfaz as duas equações e está em
.
Passo 3
Agora a soma. Tomemos
Então
que de novo satisfaz
e
. Logo
.
Passo 4
Agora o produto por escalar. Seja
e
Então
logo
também satisfaz
e
. Portanto
.
Passo 5
Como
contém o zero, é fechado em soma e em produto escalar, concluímos que
é um subespaço de
. Além disso, todo vetor em
pode ser escrito como
Assim
é uma base de
e