Através da integraçāo direta, determine a transformada de Laplace e a regiāo de convergência das seguintes funções.
a) x(t)=\left(e^{2 t}-2 e^{-t}\right) u(t)

Passo 1

O enunciado quer a transformada de Laplace de x(t) = \bigl(e^{2t} - 2e^{-t}\bigr)\,u(t) e sua região de convergência (ROC). Vamos usar a definição de Laplace e verificar as condições de convergência de cada termo.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
X(s) \;=\; \int_{0}^{\infty} x(t)\,e^{-s t}\,dt.
Como há o u(t), a integral vale de 0 a \infty.

Passo 3

Substituindo x(t):
X(s) =\int_{0}^{\infty}\bigl(e^{2t}-2e^{-t}\bigr)\,e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-2)t}\,dt \;-\;2\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\,dt.

Passo 4

Para convergência de \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-a t}dt é preciso \Re(a)>0.
No primeiro termo a=s-2, exige \Re(s-2)>0\Rightarrow\Re(s)>2.
No segundo termo a=s+1, exige \Re(s+1)>0\Rightarrow\Re(s)>-1.

Passo 5

Sabendo que \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-a t}dt = \tfrac{1}{a} para \Re(a)>0, temos
X(s) =\frac{1}{s-2} \;-\;2\cdot\frac{1}{s+1} =\frac{1}{s-2}-\frac{2}{s+1}.

Passo 6

A região de convergência é a interseção das condições: \Re(s)>2 e \Re(s)>-1. Portanto
\text{ROC: }\Re(s)>2.

Resposta

X(s)=\frac{1}{s-2}-\frac{2}{s+1},
com região de convergência \Re(s)>2.

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