Determine as transformadas de Laplace das seguintes funçōes usando tabela de pares prontos e a propriedade de deslocamento no tempo (se necessária) da transformada de Laplace unilateral:
a) x.(t)=e^{-(t-\tau)} u(t-\tau)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace unilateral de \displaystyle x(t)=e^{-(t-\tau)}\,u(t-\tau).
O conteúdo principal é a propriedade de deslocamento no tempo, junto com o uso da tabela de transformadas prontas.

Passo 2

Reescrevemos \displaystyle x(t)=f(t-\tau)\,u(t-\tau)
com a função base \displaystyle f(t)=e^{-t}.
A propriedade de deslocamento diz que, se \displaystyle F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s),
então
\mathcal{L}\{f(t-a)\,u(t-a)\}(s)=e^{-a s}\,F(s).

Passo 3

Da tabela de transformadas, sabemos que
\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1}.

Passo 4

Aplicando a propriedade de deslocamento com a=\tau, obtemos
\mathcal{L}\{x(t)\}(s) =e^{-\tau s}\;\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s) =e^{-\tau s}\,\frac{1}{s+1}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{x(t)\}(s)=\frac{e^{-\tau s}}{s+1}.

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