Para um sistema com funçāo de transferència.
H(s)=\frac{s}{s^{2}+9}
a) Determine a resposta (estado nulo) para a entrada x(t)=\left(1-e^{-t}\right) u(t).

Passo 1

O enunciado pede a resposta de estado nulo (ou resposta ao zero–estado) de um sistema linear com função de transferência
H(s)=\frac{s}{s^{2}+9}
à entrada
x(t)=\bigl(1 - e^{-t}\bigr)\,u(t).
O conteúdo necessário é usar transformada de Laplace para obter Y(s)=H(s)\,X(s) e depois inverter para encontrar y(t).

Passo 2

Calculamos a transformada de Laplace de x(t). Como
x(t)=1\cdot u(t)-e^{-t}\,u(t),
temos
X(s)=\Laplace\{1\} - \Laplace\{e^{-t}\} =\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}.

Passo 3

O produto no domínio s é
Y(s)=H(s)\,X(s) =\frac{s}{s^{2}+9}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}\Bigr) =\frac{1}{s^{2}+9}-\frac{s}{(s^{2}+9)(s+1)}.

Passo 4

Para decompor
\frac{s}{(s^{2}+9)(s+1)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B\,s+C}{s^{2}+9},
igualamos
s=A(s^{2}+9)+(B\,s+C)(s+1).
Comparando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\\ B+C=1,\\\\ 9A+C=0, \end{cases}
cuja solução é
A=-\tfrac{1}{10},\quad B=\tfrac{1}{10},\quad C=\tfrac{9}{10}.

Passo 5

Logo
\frac{s}{(s^{2}+9)(s+1)} =-\frac{1}{10}\,\frac{1}{s+1} +\frac{\tfrac{1}{10}s+\tfrac{9}{10}}{s^{2}+9}.
Substituindo em Y(s) e combinando termos em \tfrac{1}{s^{2}+9}
Y(s) =\frac{1}{s^{2}+9} -\Bigl(-\frac{1}{10}\,\frac{1}{s+1}+\frac{\tfrac{1}{10}s+\tfrac{9}{10}}{s^{2}+9}\Bigr) =\frac{1}{10}\Bigl(\frac{1}{s+1}-\frac{s}{s^{2}+9}+\frac{1}{s^{2}+9}\Bigr).

Passo 6

Invertendo cada termo:
\Laplace^{-1}\{\tfrac{1}{s+1}\}=e^{-t},\quad \Laplace^{-1}\{\tfrac{s}{s^{2}+9}\}=\cos(3t),\quad \Laplace^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}+9}\}=\tfrac{1}{3}\sin(3t).
Portanto, para t\ge0,
y(t) =\frac{1}{10}\Bigl(e^{-t}-\cos(3t)+\tfrac{1}{3}\sin(3t)\Bigr)\,u(t).

Resposta

y(t) =\Bigl(\tfrac{1}{10}e^{-t}-\tfrac{1}{10}\cos(3t)+\tfrac{1}{30}\sin(3t)\Bigr)\,u(t).

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