Através do método dos coeficientes a determinar, determine a solução particular yp(t) de
y^prime prime-2 y^prime+2 y=2 t^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular yp(t) da equação
y''-2y'+2y=2t^2
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar conhecer a solução geral da parte homogênea para verificar se o tipo de termo não‐homogêneo conflita com raízes da equação característica, e depois propor um ansatz polinomial adequado ao lado direito.

Passo 2

Encontramos a equação característica da parte homogênea:
r^2-2r+2=0Longrightarrow r=1pm i
Como as raízes não são zero nem reais repetidas, não há conflito com polinômios em t. Assim, podemos usar um polinômio de grau 2 como ansatz para yp.

Passo 3

Proponho
yp(t)=a,t^2+b,t+c,
onde a, b e c são constantes a determinar. Suas derivadas são
yp'(t)=2a,t+b, yp''(t)=2a

Passo 4

Substituo em y''-2y'+2y:
yp''-2yp'+2yp =2a-2(2a,t+b)+2(a,t^2+b,t+c)
Expandindo e agrupando por potências de t,
=2a-4a,t-2b+2a,t^2+2b,t+2c =2a,t^2+(-4a+2b),t+(2a-2b+2c)

Passo 5

Igualo esse polinômio ao lado direito
Da primeira equação vem . Na terceira, leva a , logo .

Resposta

A solução particular é
yp(t)=t^2+2t+1

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