Através do método dos coeficientes a determinar, determine a solução particular
de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma solução particular
da equação
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar conhecer a solução geral da parte homogênea para verificar se o tipo de termo não‐homogêneo conflita com raízes da equação característica, e depois propor um ansatz polinomial adequado ao lado direito.
Passo 2
Encontramos a equação característica da parte homogênea:
Como as raízes não são zero nem reais repetidas, não há conflito com polinômios em
. Assim, podemos usar um polinômio de grau 2 como ansatz para
.
Passo 3
Proponho
onde
,
e
são constantes a determinar. Suas derivadas são
Passo 4
Substituo em
:
Expandindo e agrupando por potências de
,
Passo 5
Igualo esse polinômio ao lado direito
Da primeira equação vem dá
. Na terceira,
leva a
, logo
.
Resposta
A solução particular é