Através do método dos coeficientes a determinar, determine a solução particular yp(t) de
y^prime prime+2 y^prime+y=-50 sen(3 t).

Passo 1

O problema pede uma solução particular yp(t) da equação
y''+2y'+y = -50sin(3t),
usando o método dos coeficientes a determinar. O lado homogêneo tem característica (r+1)^2=0, mas como o termo forçante é sin(3t), vamos tentar um ansatz do tipo Acos(3t)+Bsin(3t).

Passo 2

Escolhemos
yp(t) = Acos(3t) + Bsin(3t)
Agora precisamos das derivadas primeira e segunda para substituir na equação.

Passo 3

Calculando as derivadas:
yp'(t) = -3Asin(3t) + 3Bcos(3t),
yp''(t) = -9Acos(3t) -9Bsin(3t)

Passo 4

Substituindo yp, yp' e yp'' em y''+2y'+y:
yp'' + 2yp' + yp = l(-9Acos(3t)-9Bsin(3t)r) +2l(-3Asin(3t)+3Bcos(3t)r) +l(Acos(3t)+Bsin(3t)r)

Passo 5

Agrupando coeficientes de cos(3t) e sin(3t):
cos(3t):;-9A + 6B + A = -8A + 6B,
sin(3t):;-9B - 6A + B = -6A -8B
Logo
yp''+2yp'+yp = (-8A+6B)cos(3t) + (-6A-8B)sin(3t)

Passo 6

Queremos que isso seja igual a
Da primeira equação vem .

Passo 7

Com A=3 e B=4, a solução particular é
yp(t) = 3cos(3t) + 4sin(3t)

Resposta

yp(t) = 3cos(3t) + 4sin(3t)

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