Através do método dos multiplicadores de Lagrange, e fazendo os testes necessários, encontre os pontos extremos absolutos restritos dos gráficos dentro das respectivas restrições. Atenção para levar em conta os valores de
e
que seriam descartados quando forem isolar o
. Observação: como estamos dentro de regiões que acabam sendo fechadas, então não será necessário fazer teste da derivada segunda. Pois, pelo TVE, haverá certamente um mínimo e máximo absolutos. Basta verificar, aplicados na função
, quais dos pontos encontrados assumem menor e maior valor.
, restrito pela curva
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
sujeito à curva
O conteúdo usado será multiplicadores de Lagrange. Como a região dada pela restrição é fechada e limitada, pelo Teorema do Valor Extremo teremos mínimo e máximo globais. Basta achar os candidatos via Lagrange e comparar seus valores.
Passo 2
Calculamos os gradientes:
onde definimos
. O sistema de Lagrange é
Passo 3
Reescrevendo as duas primeiras equações:
Devemos considerar separadamente os casos impostos por essas fatorações.
Passo 4
Caso
: da restrição vem
Os pontos candidatos são
. Seus valores em
são
Passo 5
Caso
: da equação
obtemos
Para
a restrição dá
, logo
. Em
a restrição dá
Assim, os candidatos são
com
e
com
Passo 6
Comparando os valores obtidos:
O menor é
e o maior é
.
Resposta
Máximo absoluto em
com
.
Mínimo absoluto em com
.
Mínimo absoluto em