Através do método dos multiplicadores de Lagrange, e fazendo os testes necessários, encontre os pontos extremos absolutos restritos dos gráficos dentro das respectivas restrições. Atenção para levar em conta os valores de x, y e z que seriam descartados quando forem isolar o \lambda. Observação: como estamos dentro de regiões que acabam sendo fechadas, então não será necessário fazer teste da derivada segunda. Pois, pelo TVE, haverá certamente um mínimo e máximo absolutos. Basta verificar, aplicados na função f, quais dos pontos encontrados assumem menor e maior valor.
f(x, y)=4 x^{3}+y^{2}, restrito pela curva 2 x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=4x^3+y^2
sujeito à curva
2x^2+y^2=1.
O conteúdo usado será multiplicadores de Lagrange. Como a região dada pela restrição é fechada e limitada, pelo Teorema do Valor Extremo teremos mínimo e máximo globais. Basta achar os candidatos via Lagrange e comparar seus valores.

Passo 2

Calculamos os gradientes:
\frac{\partial f}{\partial x}=12x^2,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=2y,
\frac{\partial g}{\partial x}=4x,\quad \frac{\partial g}{\partial y}=2y,
onde definimos g(x,y)=2x^2+y^2-1. O sistema de Lagrange é
12x^2=4\lambda x,\quad 2y=2\lambda y,\quad 2x^2+y^2=1.

Passo 3

Reescrevendo as duas primeiras equações:
x(3x-\lambda)=0,\quad y(1-\lambda)=0.
Devemos considerar separadamente os casos impostos por essas fatorações.

Passo 4

Caso y=0: da restrição vem
2x^2=1\implies x=\pm\frac1{\sqrt2}.
Os pontos candidatos são \bigl(\pm1/\sqrt2,0\bigr). Seus valores em f são
f\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},0\Bigr)=4\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr)^3= \frac{4}{2\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2,
f\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},0\Bigr)=4\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr)^3=-\sqrt2.

Passo 5

Caso \lambda=1: da equação x(3x-\lambda)=0 obtemos
3x-1=0\implies x=\tfrac13,\quad\text{ou}\quad x=0.
Para x=0 a restrição dá y^2=1, logo y=\pm1. Em x=\tfrac13 a restrição dá
2\Bigl(\tfrac13\Bigr)^2+y^2=1\implies \frac{2}{9}+y^2=1\implies y^2=\frac{7}{9}\implies y=\pm\frac{\sqrt7}{3}.
Assim, os candidatos são
(0,\pm1) com
f(0,\pm1)=1,
e
\bigl(\tfrac13,\pm\tfrac{\sqrt7}{3}\bigr) com
f\Bigl(\tfrac13,\pm\tfrac{\sqrt7}{3}\Bigr)=4\Bigl(\tfrac13\Bigr)^3+\frac{7}{9} =\frac{4}{27}+\frac{7}{9}=\frac{25}{27}\approx0{,}926.

Passo 6

Comparando os valores obtidos:
-\sqrt2\approx -1{,}414,\quad \frac{25}{27}\approx0{,}926,\quad 1,\quad \sqrt2\approx1{,}414.
O menor é -\sqrt2 e o maior é \sqrt2.

Resposta

Máximo absoluto em \bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},0\bigr) com f=\sqrt2.
Mínimo absoluto em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},0\bigr) com f=-\sqrt2.

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