Através do método dos multiplicadores de Lagrange, e fazendo os testes necessários, encontre os pontos extremos absolutos restritos dos gráficos dentro das respectivas restrições. Atenção para levar em conta os valores de x, y e z que seriam descartados quando forem isolar o \lambda. Observação: como estamos dentro de regiões que acabam sendo fechadas, então não será necessário fazer teste da derivada segunda. Pois, pelo TVE, haverá certamente um mínimo e máximo absolutos. Basta verificar, aplicados na função f, quais dos pontos encontrados assumem menor e maior valor.
f(x, y, z)=3 x+6 y+2 z, restrito pela superfície 2 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=70.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y,z)=3x+6y+2z
sob a restrição
2x^{2}+4y^{2}+z^{2}=70.
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, montando a condição \nabla f=\lambda\nabla g, onde
g(x,y,z)=2x^{2}+4y^{2}+z^{2}-70.
Como a restrição define uma superfície fechada e limitada, pelo Teorema do Valor Extremo existem mínimo e máximo absolutos sem precisar de teste da segunda derivada.

Passo 2

Calculemos os gradientes e igualemos:
\nabla f=(3,6,2),
\nabla g=(4x,\,8y,\,2z).
A condição \nabla f=\lambda\nabla g dá o sistema
3=4\lambda x,
6=8\lambda y,
2=2\lambda z.
Observe que necessariamente \lambda\neq0, pois se \lambda=0 teríamos contradição com as três equações.

Passo 3

Isolando x, y e z em função de \lambda, obtemos
x=\frac{3}{4\lambda},\quad y=\frac{6}{8\lambda}=\frac{3}{4\lambda},\quad z=\frac{2}{2\lambda}=\frac{1}{\lambda}.

Passo 4

Substituímos essas expressões na restrição
2\Bigl(\frac{3}{4\lambda}\Bigr)^{2} +4\Bigl(\frac{3}{4\lambda}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{1}{\lambda}\Bigr)^{2} =70.
Calculando passo a passo:
2\frac{9}{16\lambda^{2}}+4\frac{9}{16\lambda^{2}}+\frac{1}{\lambda^{2}} =\frac{18+36}{16\lambda^{2}}+\frac{1}{\lambda^{2}} =\frac{54}{16\lambda^{2}}+\frac{1}{\lambda^{2}} =\frac{54+16}{16\lambda^{2}} =\frac{70}{16\lambda^{2}}
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\frac{70}{16\lambda^{2}}=70 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^{2}=\frac{1}{16} \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm\frac{1}{4}.

Passo 5

Para \lambda=\tfrac{1}{4},
x=3,\quad y=3,\quad z=4.
Para \lambda=-\tfrac{1}{4},
x=-3,\quad y=-3,\quad z=-4.
São os únicos candidatos dentro da restrição.

Passo 6

Avaliamo-los em f:
f(3,3,4)=3\cdot3+6\cdot3+2\cdot4=9+18+8=35,
f(-3,-3,-4)=3\cdot(-3)+6\cdot(-3)+2\cdot(-4)=-9-18-8=-35.
Logo o maior valor é 35 em (3,3,4) e o menor é -35 em (-3,-3,-4).

Resposta

O máximo absoluto restrito ocorre em (3,3,4) com valor 35, e o mínimo absoluto em (-3,-3,-4) com valor -35.

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