Através do método dos multiplicadores de Lagrange, e fazendo os testes necessários, encontre os pontos extremos absolutos restritos dos gráficos dentro das respectivas restrições. Atenção para levar em conta os valores de
e
que seriam descartados quando forem isolar o
. Observação: como estamos dentro de regiões que acabam sendo fechadas, então não será necessário fazer teste da derivada segunda. Pois, pelo TVE, haverá certamente um mínimo e máximo absolutos. Basta verificar, aplicados na função
, quais dos pontos encontrados assumem menor e maior valor.
, restrito pela superfície
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
sob a restrição
Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, montando a condição
, onde
Como a restrição define uma superfície fechada e limitada, pelo Teorema do Valor Extremo existem mínimo e máximo absolutos sem precisar de teste da segunda derivada.
Passo 2
Calculemos os gradientes e igualemos:
A condição
dá o sistema
Observe que necessariamente
, pois se
teríamos contradição com as três equações.
Passo 3
Isolando
,
e
em função de
, obtemos
Passo 4
Substituímos essas expressões na restrição
Calculando passo a passo:
logo
Passo 5
Para
,
Para
,
São os únicos candidatos dentro da restrição.
Passo 6
Avaliamo-los em
:
Logo o maior valor é
em
e o menor é
em
.
Resposta
O máximo absoluto restrito ocorre em
com valor
, e o mínimo absoluto em
com valor
.