Através do método dos multiplicadores de Lagrange, e fazendo os testes necessários, encontre os pontos extremos absolutos restritos dos gráficos dentro das respectivas restrições. Atenção para levar em conta os valores de x, y e z que seriam descartados quando forem isolar o \lambda. Observação: como estamos dentro de regiões que acabam sendo fechadas, então não será necessário fazer teste da derivada segunda. Pois, pelo TVE, haverá certamente um mínimo e máximo absolutos. Basta verificar, aplicados na função f, quais dos pontos encontrados assumem menor e maior valor.
f(x, y)=x y, restrito pela curva 4 x^{2}+8 y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de f(x,y)=xy sujeitos à restrição
4x^2+8y^2=1.
O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange, e como a curva é fechada e limitada, sabemos que há mínimo e máximo absolutos (TVE).

Passo 2

Calculamos os gradientes e igualamos com o multiplicador \lambda:
\nabla f(x,y)=(y,\;x), \quad \nabla g(x,y)=(8x,\;16y),
\nabla f=\lambda\,\nabla g \;\Longrightarrow\; y=8\lambda x, \quad x=16\lambda y.

Passo 3

Devemos também considerar os casos em que isolamos \lambda e dividimos por x ou y.
  • Caso x=0: da restrição segue 8y^2=1, logo y=\pm\frac1{2\sqrt2} e f(0,y)=0.
  • Caso y=0: da restrição segue 4x^2=1, logo x=\pm\frac12 e f(x,0)=0.
  • Caso x\neq0 e y\neq0: de
\lambda=\frac{y}{8x}, \quad \lambda=\frac{x}{16y}
vem
\frac{y}{8x}=\frac{x}{16y} \;\Longrightarrow\; x^2=2y^2.

Passo 4

Substituímos x^2=2y^2 na restrição:
4(2y^2)+8y^2=1 \;\Longrightarrow\; 8y^2+8y^2=1 \;\Longrightarrow\; 16y^2=1 \;\Longrightarrow\; y^2=\tfrac1{16}, \; x^2=2y^2=\tfrac1{8}.
Assim os pontos críticos são
\Bigl(x,y\Bigr)=\Bigl(\pm\tfrac1{2\sqrt2},\;\pm\tfrac14\Bigr),
com combinações independentes de sinais.

Passo 5

Avaliam-se f(x,y)=xy em todos os candidatos:
  • Nos quatro pontos \bigl(\pm\tfrac1{2\sqrt2},\pm\tfrac14\bigr) temos f=\pm\frac1{2\sqrt2}\,\cdot\,\pm\frac14=\pm\frac1{8\sqrt2}=\pm\frac{\sqrt2}{16}.
  • Nos casos x=0 ou y=0 obtemos f=0.
    Logo o valor máximo é \frac{\sqrt2}{16} e o mínimo é -\frac{\sqrt2}{16}.

Resposta

Máximos absolutos:
\bigl(\tfrac1{2\sqrt2},\tfrac14\bigr) e \bigl(-\tfrac1{2\sqrt2},-\tfrac14\bigr), com f_{\max}=\tfrac{\sqrt2}{16}.
Mínimos absolutos:
\bigl(\tfrac1{2\sqrt2},-\tfrac14\bigr) e \bigl(-\tfrac1{2\sqrt2},\tfrac14\bigr), com f_{\min}=-\tfrac{\sqrt2}{16}.

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