Através do método dos multiplicadores de Lagrange, e fazendo os testes necessários, encontre os pontos extremos absolutos restritos dos gráficos dentro das respectivas restrições. Atenção para levar em conta os valores de
e
que seriam descartados quando forem isolar o
. Observação: como estamos dentro de regiões que acabam sendo fechadas, então não será necessário fazer teste da derivada segunda. Pois, pelo TVE, haverá certamente um mínimo e máximo absolutos. Basta verificar, aplicados na função
, quais dos pontos encontrados assumem menor e maior valor.
, restrito pela curva
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
sujeitos à restrição
O conteúdo é o método dos multiplicadores de Lagrange, e como a curva é fechada e limitada, sabemos que há mínimo e máximo absolutos (TVE).
Passo 2
Calculamos os gradientes e igualamos com o multiplicador
:
Passo 3
Devemos também considerar os casos em que isolamos
e dividimos por
ou
.
- Caso
: da restrição segue , logo e . - Caso
: da restrição segue , logo e . - Caso
e : de
vem
Passo 4
Substituímos
na restrição:
Assim os pontos críticos são
com combinações independentes de sinais.
Passo 5
Avaliam-se
em todos os candidatos:
- Nos quatro pontos
temos - Nos casos
ou obtemos .
Logo o valor máximo ée o mínimo é .
Resposta
Máximos absolutos:
e
, com
.
Mínimos absolutos:
e
, com
.
Mínimos absolutos: