Através do método de variação dos parâmetros, determine a solução geral de
t^2 y^prime prime+t y^prime-y=4, com y1(t)=t e y2(t)=1 / t.
Obs.: Nas questões 8, 9 e 10, defina intervalo (contínuo) das funções y1(t) e y2(t) e, antes de utilizar, verifique se são soluções da ED nesse intervalo.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
t^2y'' + t,y' - y = 4
usando o método de variação dos parâmetros, sabendo que duas soluções fundamentais da homogênea são
y1(t)=t, y2(t)=1t
Trabalhamos num intervalo em que tneq0, por exemplo t>0. Primeiro vamos verificar que y1 e y2 de fato satisfazem a homogênea no intervalo.

Passo 2

Dividimos a equação por t^2 para obter a forma padrão
y'' + 1t y' - 1t^2 y = 4t^2
Calculamos o Wronskiano de y1,y2:
W(t)= y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = t & 1/t [3pt] 1 & -1/t^2 = tl(-1t^2r)-1t cdot 1 = -2t neq 0 (t>0),
logo são uma base de soluções da homogênea.

Passo 3

Pelas fórmulas de variação dos parâmetros, escrevemos
u1' = -f(t),y2W(t), u2' = f(t),y1W(t),
onde f(t)=4/t^2. Então
u1' = -4t^2cdot1t-tfrac2t =4/t^32/t=2t^2, u2' = 4t^2cdot t-tfrac2t =-2
Integrando, obtemos
u1(t)=integral 2t^2,dt = -2t, u2(t)=integral (-2),dt = -2t

Passo 4

A solução particular advém de
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t) = l(-2tr)!t + (-2t)!l(1tr) = -2 -2 = -4
Portanto, a solução geral é a soma da homogênea com yp.

Resposta

A solução geral é
y(t) = C1,t + C2,1t - 4, t>0

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