Calcule d yd x nos seguintes casos:
y=raizxln (x+3);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = raizxln(x+3)
ou seja, calcular dydx. Para isso vamos usar a regra do quociente, além da regra da cadeia para raizx e para ln(x+3).

Passo 2

Calculamos a derivada do numerador raizx = x^1/2. Usando a regra de potência,
ddxl(raizxr) = ddxl(x^1/2r) = tfrac12,x^-1/2 = 12raizx

Passo 3

Calculamos a derivada do denominador ln(x+3). Usando a regra da cadeia,
ddxl(ln(x+3)r) = 1x+3cdotddx(x+3) = 1x+3

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
dydx = l(ddxraizxr),ln(x+3) - raizx,l(ddxln(x+3)r) l(ln(x+3)r)^2
Substituindo as derivadas dos passos anteriores,
dydx = 12raizx;ln(x+3) - raizx;1x+3 l(ln(x+3)r)^2

Passo 5

Para simplificar o numerador, colocamos sobre um denominador comum 2raizx(x+3):
12raizxln(x+3) - raizxx+3 = (x+3)-2x2raizx,(x+3) = 3 - x2raizx,(x+3)
Logo,
dydx = 3 - x2raizx,(x+3),l(ln(x+3)r)^2

Resposta

dydx = 3 - x2raizx,(x+3),l(ln(x+3)r)^2

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