Através do método dos coeficientes a determinar, determine a solução particular yp(t) de
y^(3)-6 y^prime prime+11 y^prime-6 y=2 e^2 t+5 sen(t)-10 cos (t).

Passo 1

O enunciado pede a solução particular yp(t) da equação linear com coeficientes constantes
y^(3) - 6y'' + 11y' - 6y = 2e^2t + 5sin t - 10cos t
Usaremos o método dos coeficientes a determinar: achamos primeiro as raízes da equação característica e depois propomos um ansatz para cada termo de força.

Passo 2

A equação característica é
r^3 - 6r^2 +11r -6 = 0
Fatorando, vemos que
(r-1)(r-2)(r-3)=0,
logo as raízes são r=1,2,3. O núcleo homogêneo é
yh = C1 e^t + C2 e^2t + C3 e^3t

Passo 3

Como há o termo 2e^2t na força e e^2t já está em yh com multiplicidade 1, o ansatz para essa parte será
yp1 = A,t,e^2t
Para a parte 5sin t -10cos t, não há conflito com yh, então tomamos
yp2 = Bcos t + Csin t
Assim
yp = yp1 + yp2

Passo 4

Para yp1=A,t,e^2t calculamos as derivadas:
yp1' = A,e^2t(1+2t), yp1'' = A,e^2t(4+4t), yp1'''= A,e^2t(12+8t)
Substituindo em L[y]=y'''-6y''+11y'-6y, obtemos
L[yp1] = A,e^2tl[(12+8t)-6(4+4t)+11(1+2t)-6tr] = -A,e^2t
Para anular no lado direito precisamos de -A,e^2t=2e^2t, daí
A = -2

Passo 5

Para yp2=Bcos t + Csin t temos
yp2' = -Bsin t + Ccos t, yp2'' = -Bcos t - Csin t, yp2'''= Bsin t - Ccos t
Então
L[yp2] = (Bsin t - Ccos t) -6(-Bcos t -Csin t) +11(-Bsin t +Ccos t) -6(Bcos t +Csin t)
;=;10Ccos t ;-;10Bsin t
Queremos 10Ccos t -10Bsin t = -10cos t +5sin t. Assim
10C = -10Rightarrow C=-1,
-10B = 5Rightarrow B=-tfrac12

Resposta

yp(t) = -2,t,e^2t ;-;tfrac12cos t ;-;sin t

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