Através do procedimento da curva de reação, com aplicação de degrau na variável manipulada, obteve-se a seguinte função de transferência para um determinado sistema químico:
G(s)=0,8 e^-13 s30 s+1
Com ajuda do Scilab e do comando evans, construa o diagrama do Lugar das Raízes e responda o seguinte: este sistema pode se tornar oscilatório? Se sim, em qual situação? Considere o sistema com aproximação de Padé de 1º ordem.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que temos o sistema
G(s)=0,8,e^-13s30s+1
e pede para, com a ajuda do Scilab (comando evans), desenhar o Lugar das Raízes e ver se o sistema pode ficar oscilatório. Como essa expressão tem um atraso, a gente vai usar a aproximação de Padé de 1ª ordem para transformar esse atraso num termo racional. Depois, monta-se o Lugar das Raízes variando o ganho em realimentação unitária e vê se algum polo cruza o eixo imaginário.

Passo 2

Aproximação de Padé de 1ª ordem para e^-τsapprox1-tfracτ2s1+tfracτ2s, :
e^-13sapprox1-6,5,s1+6,5,s,
No nosso caso, GPadé(s);=;0,8;1-6,5,s(30s+1)(6,5s+1), , logo:
Substituindo em , fica
é
Isso gera um sistema de 2ª ordem “sem atraso” que a gente consegue analisar com Lugar das Raízes.

Passo 3

A equação característica em malha fechada (realimentação unitária e ganho 1 + K,GPadé(s);=;0, ) é
ang<= GPadé(jomega) = (2k+1),pi, é
Para ver se os polos cruzam o eixo imaginário (isto é, se fica oscilatório), a gente testa e aplica a condição de ângulo:
é

Passo 4

  1. Condição de ângulo → encontra-se, numericamente, que para omega approx 0,186 rad/s, surge solução em
|GPadé(jomega)| = 1K,
  1. Condição de módulo →
|GPadé(j0,186)|approx0,1413 Longrightarrow Kapprox10,1413approx7,1, é
Substituindo obtemos
é

Resposta

Sim, esse sistema (com Padé de 1ª ordem) pode se tornar oscilatório. Ele cruza o eixo imaginário em
s=pm j,0,186
quando o ganho em malha fechada atinge cerca de
Kapprox7,1,

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