Através do procedimento da curva de reação, com aplicação de degrau na variável manipulada, obteve-se a seguinte função de transferência para um determinado sistema químico:
Com ajuda do Scilab e do comando evans, construa o diagrama do Lugar das Raízes e responda o seguinte: este sistema pode se tornar oscilatório? Se sim, em qual situação? Considere o sistema com aproximação de Padé de 1º ordem.
Passo 1
Beleza! O enunciado diz que temos o sistema
e pede para, com a ajuda do Scilab (comando evans), desenhar o Lugar das Raízes e ver se o sistema pode ficar oscilatório. Como essa expressão tem um atraso, a gente vai usar a aproximação de Padé de 1ª ordem para transformar esse atraso num termo racional. Depois, monta-se o Lugar das Raízes variando o ganho
em realimentação unitária e vê se algum polo cruza o eixo imaginário.
Passo 2
Aproximação de Padé de 1ª ordem para
:
No nosso caso,
, logo:
Substituindo em
, fica
Isso gera um sistema de 2ª ordem “sem atraso” que a gente consegue analisar com Lugar das Raízes.
Passo 3
A equação característica em malha fechada (realimentação unitária e ganho
) é
Para ver se os polos cruzam o eixo imaginário (isto é, se fica oscilatório), a gente testa
e aplica a condição de ângulo:
Passo 4
- Condição de ângulo → encontra-se, numericamente, que para
surge solução em
- Condição de módulo →
Substituindo
obtemos
Resposta
Sim, esse sistema (com Padé de 1ª ordem) pode se tornar oscilatório. Ele cruza o eixo imaginário em
quando o ganho em malha fechada atinge cerca de