A equação característica de um processo é dada pela equação abaixo. Usando o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, julgue se este sistema é estável ou não. Em caso negativo, indique quantos pólos com parte real positiva existem.
Passo 1
Beleza, temos uma equação característica de quinto grau
O conteúdo aqui é o critério de estabilidade de Routh–Hurwitz. Para usar, a gente vai montar a tabela de Routh, calcular cada elemento com umas divisões e subtrações, e depois olhar só para os sinais da primeira coluna. Se mudar de sinal, significa pólo com parte real positiva.
Passo 2
Primeiro monta as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes intercalados:
Linha : pega os coeficientes de
.
Linha : pega os coeficientes de
.
Linha
Linha
Então:
Passo 3
Agora a linha
. A fórmula geral para o primeiro elemento é
e para o segundo elemento é
Fazendo as contas:
Então a linha
é
Passo 4
Em
, usamos agora a linha
e
. O primeiro elemento:
e o segundo:
Calculando:
Então a linha
fica
Passo 5
Para
, pega
e
. Primeiro elemento:
Que dá
O segundo elemento vai dar zero porque usamos coeficiente zero lá atrás.
Então
Então
Passo 6
Por fim
é só o último coeficiente:
Nossa tabela completa, só primeira coluna, é:
Passo 7
Olha os sinais na primeira coluna de cima pra baixo:
- → + → + → + → − → +
Tem duas mudanças de sinal (de + para − e de − pra +). Cada mudança é um pólo com parte real positiva.
Resposta
O sistema não é estável. Ele possui 2 pólos com parte real positiva.