Calcule a função de transferência em malha fechada para um problema servo usando um controlador PD com os seguintes componentes:
Qual é a natureza da resposta a uma mudança degrau unitário (interpretação gráfica)? Como o ajuste de Kc afeta a resposta?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. É um problema de sistemas de controle (malha fechada) com controlador PD. Os blocos são:
O que precisamos:
1) Montar a função de transferência em malha fechada (T(s) padrão).
2) Ver que tipo de resposta ao degrau unitário isso gera (gráfico qualitativo).
3) Entender o papel de
Passo 2
Primeiro, lembrando a fórmula de malha fechada com realimentação unitária:
Vamos achar
Passo 3
Agora monta a malha fechada:
$$T(s)=\frac{\frac{K_C(1+s)}{s(s+1)}}{1+\frac{K_C(1+s)}{s(s+1)}}
=\frac{K_C(1+s)}{s(s+1)+K_C(1+s)}.
s(s+1)+K_C(1+s)=s2+s+K_Cs+K_C=s2+(1+K_C)s+K_C.$$
Passo 4
Repare que o numerador tem fator
e o denominador, fatoriza-se como
(isso você vê ao expandir):
$$T(s)=\frac{K_C(1+s)}{(s+1)(s+K_C)}
;\longrightarrow;\frac{K_C}{s+K_C}\quad(cancelas+1).$$
Ou seja, virou um sistema de 1ª ordem com pólo em .
Ou seja, virou um sistema de 1ª ordem com pólo em
Passo 5
Para entrada degrau unitário
, a saída em Laplace é
$$Y(s)=T(s),\frac1s=\frac{K_C}{(s+K_C),s}
\quad\longrightarrow\quad y(t)=1-e^{-K_Ct}.$$
Isso significa graficamente uma subida monótona, sem oscilações nem overshoot, tipo curva exponencial aproximando 1.
Isso significa graficamente uma subida monótona, sem oscilações nem overshoot, tipo curva exponencial aproximando 1.
Passo 6
Efeito de
? A constante de tempo é
.
- Se
aumenta, diminui, ou seja, o sistema responde mais rápido. - Se
diminui, a resposta fica mais lenta.
Em nenhum caso aparece overshoot, porque é 1ª ordem.
Resposta
Função de transferência em malha fechada:
Resposta ao degrau unitário:
que é uma subida exponencial monótona (sem overshoot).
O ganho ajusta a velocidade de resposta (tempo de acomodação
): quanto maior
, mais rápido o sistema chega em regime.
O ganho