Calcule a função de transferência em malha fechada para um problema servo usando um controlador PD com os seguintes componentes:
GV(s) & =Gm(s)=1 Gp(s) & =1s(s+1) GC(s) & =KC(1+s)
Qual é a natureza da resposta a uma mudança degrau unitário (interpretação gráfica)? Como o ajuste de Kc afeta a resposta?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. É um problema de sistemas de controle (malha fechada) com controlador PD. Os blocos são:
GV(s)=1, Gp(s)=1s(s+1), GC(s)=KC(1+s)
O que precisamos:
1) Montar a função de transferência em malha fechada (T(s) padrão).
2) Ver que tipo de resposta ao degrau unitário isso gera (gráfico qualitativo).
3) Entender o papel de no comportamento da resposta.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula de malha fechada com realimentação unitária:
T(s)=Grm ol(s)1+Grm ol(s), Grm ol(s)=GC(s),GV(s),Gp(s)
Vamos achar Grm ol(s)=KC(1+s)times1times1s(s+1)=KC(1+s)s(s+1):

Passo 3

Agora monta a malha fechada:
$$T(s)=\frac{\frac{K_C(1+s)}{s(s+1)}}{1+\frac{K_C(1+s)}{s(s+1)}}
=\frac{K_C(1+s)}{s(s+1)+K_C(1+s)}. T(s)=KC(1+s)s(s+1)1+KC(1+s)s(s+1) =KC(1+s)s(s+1)+KC(1+s)s(s+1)+K_C(1+s)=s2+s+K_Cs+K_C=s2+(1+K_C)s+K_C.$$

Passo 4

Repare que o numerador tem fator T(s)=KC(1+s)(s+1)(s+KC) ;longrightarrow;KCs+KC(cancela s+1) e o denominador, fatoriza-se como (isso você vê ao expandir):
$$T(s)=\frac{K_C(1+s)}{(s+1)(s+K_C)}
;\longrightarrow;\frac{K_C}{s+K_C}\quad(cancelas+1).$$
Ou seja, virou um sistema de 1ª ordem com pólo em .

Passo 5

Para entrada degrau unitário Y(s)=T(s),1s=KC(s+KC),s longrightarrow y(t)=1-e^-KCt, a saída em Laplace é
$$Y(s)=T(s),\frac1s=\frac{K_C}{(s+K_C),s}
\quad\longrightarrow\quad y(t)=1-e^{-K_Ct}.$$
Isso significa graficamente uma subida monótona, sem oscilações nem overshoot, tipo curva exponencial aproximando 1.

Passo 6

Efeito de ? A constante de tempo é .
  • Se aumenta, diminui, ou seja, o sistema responde mais rápido.
  • Se diminui, a resposta fica mais lenta.
    Em nenhum caso aparece overshoot, porque é 1ª ordem.

Resposta

Função de transferência em malha fechada:
T(s)=KCs+KC
Resposta ao degrau unitário:
y(t)=1-e^-KCt,
que é uma subida exponencial monótona (sem overshoot).
O ganho ajusta a velocidade de resposta (tempo de acomodação ): quanto maior , mais rápido o sistema chega em regime.

Exercícios relacionados