Determine os coeficientes da Série de Fourier da saída y[n] quando a entrada do sistema for
x[n]=sumk=-infty^+infty de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um sistema LTI (Linear e Invariável no Tempo) com uma resposta ao impulso específica. A gente vai precisar usar conceitos de Séries de Fourier para encontrar os coeficientes da saída quando a entrada é uma sequência periódica de impulsos. Então, vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a entrada do sistema, que é $ x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta[n - 4k] $. Isso significa que temos uma sequência periódica de impulsos espaçados a cada 4 unidades de tempo. Em termos de periodicidade, isso indica que o período $ N $ é 4.
Passo 3
Agora, vamos analisar a resposta ao impulso do sistema, $ h[n] $. Ela está definida da seguinte forma:
h[n] á
Isso significa que o sistema responde a um impulso adicionando valores 1 em $ n = 0, 1, 2 $ e -1 em $ n = -2, -1 $.
Passo 4
Para encontrar os coeficientes da Série de Fourier da saída $ y[n] $, precisamos primeiro encontrar a resposta em frequência do sistema $ H(e^{j\omega}) $. A transformada de Fourier da resposta ao impulso é dada por:
y[n]
Vamos calcular isso com base na definição de $ h[n] $.
Passo 5
Substituindo os valores de $ h[n] $:
h[n]
H(e^jomega) = sumn=-2^-1 (-1) e^-jomega n + sumn=0^2 (1) e^-jomega n
Passo 6
Agora, como a entrada $ x[n] $ é periódica com período 4, os coeficientes da Série de Fourier da saída $ y[n] $ são dados por:
x[n]
Aqui, $ \omega_0 = \frac{2\pi}{N} = \frac{\pi}{2} $, já que $ N = 4 $.