Considere o sistema LIT com resposta ao impulso:
h[n]=ll 1, & 0 <= n <= 2 -1, & -2 <= n <= -1 0, & cc
Determine os coeficientes da Série de Fourier da saída y[n] quando a entrada do sistema for
x[n]=sumk=-infty^+infty de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um sistema LTI (Linear e Invariável no Tempo) com uma resposta ao impulso específica. A gente vai precisar usar conceitos de Séries de Fourier para encontrar os coeficientes da saída quando a entrada é uma sequência periódica de impulsos. Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a entrada do sistema, que é $ x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta[n - 4k] $. Isso significa que temos uma sequência periódica de impulsos espaçados a cada 4 unidades de tempo. Em termos de periodicidade, isso indica que o período $ N $ é 4.

Passo 3

Agora, vamos analisar a resposta ao impulso do sistema, $ h[n] $. Ela está definida da seguinte forma:
h[n] á
Isso significa que o sistema responde a um impulso adicionando valores 1 em $ n = 0, 1, 2 $ e -1 em $ n = -2, -1 $.

Passo 4

Para encontrar os coeficientes da Série de Fourier da saída $ y[n] $, precisamos primeiro encontrar a resposta em frequência do sistema $ H(e^{j\omega}) $. A transformada de Fourier da resposta ao impulso é dada por:
y[n]
Vamos calcular isso com base na definição de $ h[n] $.

Passo 5

Substituindo os valores de $ h[n] $:
h[n]
H(e^jomega) = sumn=-2^-1 (-1) e^-jomega n + sumn=0^2 (1) e^-jomega n

Passo 6

Agora, como a entrada $ x[n] $ é periódica com período 4, os coeficientes da Série de Fourier da saída $ y[n] $ são dados por:
x[n]
Aqui, $ \omega_0 = \frac{2\pi}{N} = \frac{\pi}{2} $, já que $ N = 4 $.

Passo 7

Vamos calcular $ Y[k] $ para $ k = 0, 1, 2, 3 $:
Para $ k = 0 $:
Y[k]
Para $ k = 1 $:
k = 0, 1, 2, 3
Para $ k = 2 $:
k = 0
Para $ k = 3 $:
Y[0] = H(1) = (-1)(1) + (-1)(1) + 1 + 1 + (-1)(1) = 0

Resposta

Os coeficientes da Série de Fourier da saída $ y[n] $ são todos iguais a zero, ou seja:
y[n]

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