Através do procedimento da curva de reação, com aplicação de degrau na variável manipulada, obteve-se a seguinte função de transferência para um determinado sistema químico:
G(s)=0,8 e^-13 s30 s+1
Encontre o ganho crítico ( K c critico ) do sistema em malha fechada com um controlador proporcional. Utilize a Aproximação de Padé de 1² ordem.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um sistema químico com função de transferência
G(s)=0,8,e^-13s30s+1
e a gente precisa achar o ganho crítico quando fechamos malha com um controlador proporcional.
Conteúdo: teoria de estabilidade em malha fechada (marginal), equivalência de atraso via Aproximação de Padé de 1ª ordem, análise de equação característica.
O que vamos usar:
1. Pade 1ª ordem para substituir .
2. Montar a função de malha aberta com ganho .
3. Colocar na equação característica .
4. Separar parte real e imaginária para achar e .

Passo 2

Primeiro, a Pade de 1ª ordem para o atraso e^-T sapprox1-tfracT2s1+tfracT2s é
e^-13sapprox1-6,5,s1+6,5,s
Aqui Grm pade(s) =0,8,(1-6,5s)(30s+1)(1+6,5s) , então
Substituindo em , a função aproximada vira

Passo 3

Com um ganho proporcional L(s)=K,Grm pade(s) =K,0,8,(1-6,5s)(30s+1)(1+6,5s) , a malha aberta fica
1 + L(s) ;=;0 Longrightarrow (30s+1)(1+6.5s) + Kcdot0.8,(1-6.5s) = 0
A equação característica da malha fechada é

Passo 4

Para achar o ganho em que surge oscilação (marginal), colocamos D(jomega)=(30jomega+1)(1+6.5jomega) =1 - 195omega^2 + j,36.5omega, e separamos em parte real e imaginária.
Seja
N(jomega)=0.8,(1-6.5jomega) =0.8 - j,5.2omega
D(jomega) + K,N(jomega)=0
A equação característica vira
36.5,omega ;+; Kl(-5.2,omegar)=0 Longrightarrow 36.5 - 5.2,K =0 ;Rightarrow; K = 36.55.2approx7.0192
Separando:
– Imaginária zero:
1 -195omega^2 + Kcdot0.8 = 0 Longrightarrow 1 -195omega^2 +0.8,(7.0192)=0
– Real zero (para checar 6.6154 -195omega^2 =0 Longrightarrow omega^2 = 6.6154195approx0.03394 ;Rightarrow; omegaapprox0.1842 rad/s ):
Faz sentido, mas o que interessa é o da parte imaginária.

Resposta

O ganho crítico é
boxedKccriticoapprox7,02

Exercícios relacionados