Um sistema de controle tem Gm=Gv=1 e um processo de segunda ordem Gp com Kp=2, tau1 =4 min e tau2=1 min, que será controlado por um controlador Pl com tauI=tau1=4 min (ou seja, o tempo integral do controlador é definido igual à constante de tempo dominante). Para uma mudança no set-point: Determine a função de transferência de malha fechada.

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos um processo de segunda ordem
Gp(s)=Kp(tau1 s+1)(tau2 s+1)
com Kp=2, tau1=4,min e tau2=1,min. Esse processo vai ser controlado por um controlador PI, cujo tempo integral tauI é igual à constante de tempo dominante do processo, ou seja, tauI=tau1=4,min. Além disso, o sensor e o atuador têm ganho unitário ( Gm=Gv=1).
Conteúdo: Teoria de sistemas de controle em malha fechada. Vamos precisar de:
1) definir a FT em malha aberta L(s)=Gc(s)Gp(s);
2) usar a fórmula da malha fechada para referência:
T(s)=L(s)1+L(s),

Passo 2

Primeiro, escrevemos a função de transferência do processo com os valores dados:
Gp(s)=2(4s+1)(1s+1)=2(4s+1)(s+1),

Passo 3

Agora, a FT do controlador PI genérico é
Gc(s)=Kcl(1+1tauI sr)=KctauI s+1tauI s
e como tauI=4,min, fica
Gc(s)=Kc4s+14s,

Passo 4

A malha aberta é
L(s)=Gc(s),Gp(s)=Kc4s+14s,cdot2(4s+1)(s+1),

Passo 5

Simplificando o 4s+1 que aparece no numerador e denominador de L(s), temos
L(s)=2Kc4s,(s+1)=2Kc4s^2+4s=Kc2s^2+2s,
Agora aplicamos a fórmula da malha fechada para o set‐point (referência):
T(s)=L(s)1+L(s)= Kc2s^2+2s1+Kc2s^2+2s = Kc2s^2+2s+Kc,

Resposta

A função de transferência de malha fechada (set‐point para saída) é
boxedT(s)=Kc2,s^2+2,s+Kc,

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