O atributo X tem distribuição normal com média 2 e variância 4. Assinale a opção que dá o valor do terceiro quartil de X, sabendo-se que o terceiro quartil da normal padrão é 0,6745 .
(A) 3,3490
(B) 0,6745
(C) 2,6745
(D) 2,3373
(E) 2,7500

Passo 1

O enunciado diz que o atributo X tem distribuição normal com média 2 e variância 4. Pergunta-se qual é o terceiro quartil de X, sabendo que o terceiro quartil da normal padrão é 0,6745.
Informações dadas:
\text{média } \mu = 2,é
\text{variância } \sigma^{2} = 4,â
\text{o terceiro quartil da normal padrão (}z_{0{,}75}\text{) é }0{,}6745.ãé
O que é pedido: calcular o terceiro quartil (ou seja, o quantil de ordem 0{,}75) da variável X.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “terceiro quartil”. O terceiro quartil q_{0{,}75} é o número tal que
P(X \le q_{0{,}75}) = 0{,}75.
Ou seja, q_{0{,}75} é o valor de X abaixo do qual se encontra 75\% da distribuição.

Passo 3

Para transformar quantis entre uma normal geral e a normal padrão usamos a padronização. Se
X \sim N(\mu,\sigma^{2}),
então a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
tem distribuição N(0,1). Assim, o quantil q_{p} de X está relacionado ao quantil z_{p} da normal padrão por
q_{p}=\mu+\sigma z_{p}.
Explicando as letras: \mu é a média de X, \sigma é o desvio padrão de X (a raiz quadrada da variância) e z_{p} é o quantil da normal padrão tal que P(Z\le z_{p})=p.

Passo 4

Calculemos o desvio padrão \sigma. Como a variância é 4,
\sigma=\sqrt{4}=2.
Portanto usaremos \mu=2 e \sigma=2 na fórmula do passo anterior.

Passo 5

Usando z_{0{,}75}=0{,}6745 (dado no enunciado) e a fórmula
q_{0{,}75}=\mu+\sigma z_{0{,}75},
temos
q_{0{,}75}=2+2\cdot 0{,}6745.
Calculemos passo a passo a multiplicação:
2\cdot 0{,}6745 = 1{,}3490.
Agora somamos à média:
2 + 1{,}3490 = 3{,}3490.
Portanto o terceiro quartil de X é 3{,}3490.

Resposta

(A) 3,3490

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