A função densidade de probabilidade do tempo, em segundos, requerido para completar uma operação de montagem é:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{40}, \text { se } 10<x<50 \\\\ 0, \text { caso contrário } \end{array}\right.á
Sabendo que \boldsymbol{a} segundos é o tempo que é precedido por 25 \% das montagens, o valor de \boldsymbol{a} é
(A) 20
(B) 18,5
(C) 17,8
(D) 17,2
(E) 16

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de \boldsymbol{a}\) tal que \(25\%\) das montagens têm tempo menor que \(\boldsymbol{a}\). Informações dadas: \[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{1}{40}, & \text{se }10<x<50,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Ou seja, a variável tempo é contínua com densidade constante igual a \frac{1}{40}\] no intervalo \((10,50). Queremos o ponto \boldsymbol{a} que antecede 25\% das observações (primeiro quartil).]

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para uma variável contínua a função de distribuição acumulada (CDF) F(x) dá a probabilidade de a variável ser menor ou igual a x. Para uma densidade f(t) temos a fórmula
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Aqui, como f(t)=0 para t\le 10 e f(t)=\frac{1}{40} para 10<t<50, a integral começa efetivamente em 10. Portanto, para 10<x<50,
F(x)=\int_{10}^{x}\frac{1}{40}\,dt.

Passo 3

Calculemos a integral (mostrando passo a passo): integrar a constante \frac{1}{40} em relação a t
\int_{10}^{x}\frac{1}{40}\,dt=\frac{1}{40}\bigl[t\bigr]_{10}^{x}=\frac{1}{40}(x-10).
Logo, para 10<x<50,
F(x)=\frac{x-10}{40}.
(Para x\le 10 temos F(x)=0 e para x\ge 50 temos F(x)=1, mas não precisamos desses casos aqui.)

Passo 4

Definição do que procuramos: queremos \boldsymbol{a} tal que 25\% das montagens são precedidas por \boldsymbol{a}. Em termos da CDF, isso é
F(\boldsymbol{a})=25\%=0,25.
Usando a expressão de F(x) no intervalo, obtemos a equação
\frac{\boldsymbol{a}-10}{40}=0,25.

Passo 5

Resolva a equação passo a passo:
\frac{\boldsymbol{a}-10}{40}=0,25
Multiplicando ambos os lados por 40:
\boldsymbol{a}-10=40\cdot 0,25.
Calcule 40\cdot 0,25:
40\cdot 0,25=10.
Portanto
\boldsymbol{a}-10=10.
Somando 10 em ambos os lados:
\boldsymbol{a}=20.
Verificação rápida (intuição): em uma distribuição uniforme de 10 a 50 o comprimento do intervalo é 40; 25\% de 40 é 10; somando 10 ao ponto inicial 10 20. Faz sentido.

Resposta

20 (A)

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