Para uma amostra de tamanho 100 de um atributo discreto X obteve-se a função de distribuição empírica seguinte:
F(x)=\left\{\begin{array}{l} 0 \text { se } x<1 \\\\ 0,15 \text { se } 1 \leq x<2 \\\\ 0,35 \text { se } 2 \leq x<3 \\\\ 0,55 \text { se } 3 \leq x<4 \\\\ 0,85 \text { se } 4 \leq x<5 \\\\ 1 \text { se } x \geq 5 \end{array}\right.
Assinale a opção que corresponde à frequência de observações de X iguais a 3 .
(A) 55
(B) 35
(C) 20
(D) 30
(E) 85

Passo 1

O enunciado pede a frequência (número de observações) de X iguais a 3.
As informações dadas são a função de distribuição empírica F(x) para uma amostra de tamanho 100:
F(x)=\left\{\begin{array}{l} 0 \text{ se } x<1 \\\\ 0,15 \text{ se } 1 \leq x<2 \\\\ 0,35 \text{ se } 2 \leq x<3 \\\\ 0,55 \text{ se } 3 \leq x<4 \\\\ 0,85 \text{ se } 4 \leq x<5 \\\\ 1 \text{ se } x \geq 5 \end{array}\right.

Passo 2

Explicar o que significa essa função e como extrair a frequência de um valor discreto.
A função de distribuição empírica F(x) dá a proporção (ou frequência relativa) de observações com valor menor ou igual a x; isto é, F(x)= proporção de observações com X\le x. Para uma variável discreta, a proporção de observações exatamente iguais a um valor a é o salto de F em a, ou seja:
\text{proporção em } a = F(a) - F(a^-),çã
onde F(a^-)=\lim_{x\to a^-}F(x) é o valor de F imediatamente antes de a. Isso acontece porque F(a) conta tudo até a e F(a^-) conta tudo estritamente menor que a; a diferença é, portanto, a parte igual a a.

Passo 3

Identificar F(3) e F(3^-) a partir da tabela dada. Pela definição em pedaços: para 2\le x<3 temos F(x)=0,35, logo
F(3^-)=0,35.
Para 3\le x<4 temos F(x)=0,55, e portanto
F(3)=0,55.

Passo 4

Calcular a proporção de observações iguais a 3 usando o salto:
\text{proporção em }3 = F(3)-F(3^-)=0,55-0,35=0,20.çã
Como a amostra tem tamanho 100, a frequência (número de observações) é a proporção multiplicada por 100:
\text{frequência} = 0,20 \times 100 = 20.ê

Passo 5

Verificação rápida de consistência (opcional, para ficar tranquilo): os saltos em 1,2,3,4,5 são 0,15, 0,20, 0,20, 0,30 e 0,15; somando dá 1, ou seja, 100\%, então faz sentido.

Resposta

C) 20

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