1. Um auditor interno analisou 200 contratos empresariais e verificou:
  • 80 contratos possuem erro de preenchimento;
  • 50 possuem ausência de assinatura;
  • 20 apresentam os dois problemas.
Se um contrato for selecionado aleatoriamente, qual é a probabilidade de ele apresentar pelo menos um dos problemas?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foram analisados 200 contratos no total.
  • Dentre eles:
    • 80 contratos possuem erro de preenchimento.
    • 50 contratos possuem ausência de assinatura.
    • 20 contratos apresentam os dois problemas (erro de preenchimento e ausência de assinatura).
  • O que o enunciado pede: a probabilidade de que, ao selecionar um contrato aleatoriamente, ele apresente pelo menos um dos problemas (isto é, erro de preenchimento ou ausência de assinatura).

Passo 2

Definições e notação — isso ajuda a pensar claro na prova.
  • Seja A o evento “contrato tem erro de preenchimento”.
  • Seja B o evento “contrato tem ausência de assinatura”.
  • O número total de contratos (tamanho do espaço amostral) é N=200.
  • O evento “pelo menos um dos problemas” é o evento união A\cup B.
  • A probabilidade de um evento é dado por
P(\text{evento})=\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número total de casos}}.úáú
Então
P(A\cup B)=\frac{n(A\cup B)}{N},
onde n(\cdot) indica o número de contratos que satisfazem o evento.

Passo 3

Como obter n(A\cup B) sem contar duas vezes?
  • Se eu somar n(A) e n(B) vou contar os contratos que têm os dois problemas duas vezes. Para corrigir isso usamos a fórmula da inclusão-exclusão para dois conjuntos:
n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B).
  • Substituindo os números dados:
n(A\cup B)=80+50-20.
  • Calculemos passo a passo:
80+50=130,
130-20=110.
Portanto n(A\cup B)=110. Isso significa que 110 contratos têm pelo menos um dos problemas.

Passo 4

Calcular a probabilidade e simplificar a fração.
  • Usando a fórmula da Passo 2:
P(A\cup B)=\frac{n(A\cup B)}{N}=\frac{110}{200}.
  • Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 10:
\frac{110}{200}=\frac{11}{20}.
  • Convertendo para decimal e porcentagem:
\frac{11}{20}=0,55=55\%.

Passo 5

Método alternativo (complemento) — útil para conferir e também uma técnica comum em provas.
  • O número de contratos que não têm nenhum problema é N-n(A\cup B)=200-110=90.
  • Assim P(\text{nenhum problema})=\dfrac{90}{200}=\dfrac{9}{20}=0,45.
  • Logo P(A\cup B)=1-P(\text{nenhum problema})=1-0,45=0,55, que confirma o resultado anterior.

Passo 6

Um exemplo pequeno para fixar (bem prático, tipo exercício rápido na prova).
  • Suponha 10 contratos, com 4 com erro de preenchimento, 3 com ausência de assinatura e 1 com ambos. Então
n(A\cup B)=4+3-1=6,
e a probabilidade de pelo menos um problema é \dfrac{6}{10}=0,6. A ideia é exatamente a mesma que usamos no problema grande.

Resposta

\dfrac{11}{20}=0,55=55\%

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