- Um auditor interno analisou 200 contratos empresariais e verificou:
- 80 contratos possuem erro de preenchimento;
- 50 possuem ausência de assinatura;
- 20 apresentam os dois problemas.
Se um contrato for selecionado aleatoriamente, qual é a probabilidade de ele apresentar pelo menos um dos problemas?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Foram analisados
contratos no total. - Dentre eles:
-
contratos possuem erro de preenchimento. -
contratos possuem ausência de assinatura. -
contratos apresentam os dois problemas (erro de preenchimento e ausência de assinatura).
-
- O que o enunciado pede: a probabilidade de que, ao selecionar um contrato aleatoriamente, ele apresente pelo menos um dos problemas (isto é, erro de preenchimento ou ausência de assinatura).
Passo 2
Definições e notação — isso ajuda a pensar claro na prova.
- Seja
o evento “contrato tem erro de preenchimento”. - Seja
o evento “contrato tem ausência de assinatura”. - O número total de contratos (tamanho do espaço amostral) é
. - O evento “pelo menos um dos problemas” é o evento união
. - A probabilidade de um evento é dado por
Então
onde
indica o número de contratos que satisfazem o evento.
Passo 3
Como obter
sem contar duas vezes?
- Se eu somar
e vou contar os contratos que têm os dois problemas duas vezes. Para corrigir isso usamos a fórmula da inclusão-exclusão para dois conjuntos:
- Substituindo os números dados:
- Calculemos passo a passo:
Portanto
. Isso significa que
contratos têm pelo menos um dos problemas.
Passo 4
Calcular a probabilidade e simplificar a fração.
- Usando a fórmula da Passo 2:
- Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
- Convertendo para decimal e porcentagem:
Passo 5
Método alternativo (complemento) — útil para conferir e também uma técnica comum em provas.
- O número de contratos que não têm nenhum problema é
. - Assim
. - Logo
, que confirma o resultado anterior.
Passo 6
Um exemplo pequeno para fixar (bem prático, tipo exercício rápido na prova).
- Suponha
contratos, com com erro de preenchimento, com ausência de assinatura e com ambos. Então
e a probabilidade de pelo menos um problema é
. A ideia é exatamente a mesma que usamos no problema grande.