Na aula 03, calculamos o campo elétrico de um disco uniformemente carregado em um ponto sobre o eixo do disco a uma distância x do mesmo. Então consideramos o caso em
que o disco é infinito (raio infty ), o que nos forneceu o campo elétrico de um plano infinito uniformemente carregado. Com base nesta análise, considere dois planos paralelos separados por uma distância D. Ambos os planos estão uniformemente carregados com densidades superficiais de carga iguais a +2 mu C / m^2 e -3 mu C / m^2, respectivamente. Considere que o plano de carga positiva seja o plano x=0 e que o plano de carga negativa seja o plano x=D. Determine o campo elétrico em todos os pontos do espaço.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico no espaço todo criado por dois planos infinitos paralelos, um em x=0 com densidade superficial sigma1=+2,muC/m^2 e outro em x=D com sigma2=-3,muC/m^2.
Conteúdo: campo de uma lâmina infinita uniforme e princípio da superposição.

Passo 2

Campo de uma lâmina infinita com densidade sigma:
|vec E|=|sigma|2epsilon0,,
sempre direcionado para fora se sigma>0 e para dentro se sigma<0.
Para o plano em x=0 ( sigma1>0):
  • para x<0, o campo aponta para -hat x e vec E1(x)=-sigma12epsilon0,hat x,
  • para x>0, o campo aponta para +hat x e vec E1(x)=+sigma12epsilon0,hat x,

Passo 3

Para o plano em x=D ( sigma2<0):
  • para x<D (lado esquerdo), o campo aponta para o plano, ou seja, para +hat x, e vec E2(x)=-sigma22epsilon0,hat x(x<D)
  • para x>D, o campo também aponta para o plano, ou seja, para -hat x, e vec E2(x)=+sigma22epsilon0,hat x(x>D)

Passo 4

Superpondo E = E1 + E2, há três regiões:
Para x < 0 temos
E(x) = -sigma12epsilon0 , x , + , -sigma22epsilon0 , x = -sigma1 + sigma22epsilon0 , x
Para 0 < x < D temos
E(x) = +sigma12epsilon0 , x , + , -sigma22epsilon0 , x = sigma1 - sigma22epsilon0 , x
Para x > D temos
E(x) = +sigma12epsilon0 , x , + , +sigma22epsilon0 , x = sigma1 + sigma22epsilon0 , x
Substituindo sigma1 = 2 times 10^-6~C/m ^2, sigma2 = -3 times 10^-6~C/m ^2:
sigma1 + sigma2 = -1 times 10^-6, sigma1 - sigma2 = 5 times 10^-6.

Resposta

E(x) = -sigma1 + sigma22 epsilon0 , x = 0,5 times 10^-6epsilon0 , x,, & x < 0, [1em] sigma1 - sigma22 epsilon0 , x = 2,5 times 10^-6epsilon0 , x,, & 0 < x < D, [1em] sigma1 + sigma22 epsilon0 , x = -0,5 times 10^-6epsilon0 , x,, & x > D ]

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