Considere a função
f(x)=11+x
Teste a qualidade da aproximação
f(x) approx 1-x,
comparando o valor exato com o aproximado para x=0.5,0.1,0.01,0.001 e 0.0001 .

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=11+x
e propõe a aproximação de primeira ordem
f(x)approx 1 - x
Vamos testar essa aproximação para os valores x=0,5, 0,1, 0,01, 0,001 e 0,0001, comparando o valor exato de f(x) com o aproximado e calculando o erro absoluto e o erro relativo.

Passo 2

A aproximação f(x)approx 1 - x vem da expansão de Taylor de f em torno de x=0. Como
f(x) = 11+x = 1 - x + x^2 - x^3 + cdots,
a reta 1 - x corresponde aos dois primeiros termos dessa série, desprezando os termos de ordem x^2 e superiores.

Passo 3

Definimos o erro absoluto e o erro relativo da aproximação como
E(x) = l|f(x) - (1 - x)r| e erel(x) = E(x)l|f(x)r|

Passo 4

Calculamos, para cada x, o valor exato, o valor aproximado, o erro absoluto e o erro relativo:
Para x=0,5:
f(0,5)=11,5=23approx0,666667, 1-x=0,5,
E(0,5)=l|0,666667-0,5r|approx0,166667, erel(0,5)=0,1666670,666667approx0,25
Para x=0,1:
f(0,1)=11,1approx0,909091, 1-x=0,9,
E(0,1)=l|0,909091-0,9r|approx0,009091, erel(0,1)=0,0090910,909091approx0,01
Para x=0,01:
f(0,01)=11,01approx0,990099, 1-x=0,99,
E(0,01)=l|0,990099-0,99r|approx0,000099, erel(0,01)=0,0000990,990099approx0,0001
Para x=0,001:
f(0,001)=11,001approx0,999001, 1-x=0,999,
E(0,001)=l|0,999001-0,999r|approx0,000001, erel(0,001)=0,0000010,999001approx0,000001
Para x=0,0001:
f(0,0001)=11,0001approx0,99990001, 1-x=0,9999,
E(0,0001)=l|0,99990001-0,9999r|approx0,00000001, erel(0,0001)=0,000000010,99990001approx0,00000001

Passo 5

Observamos que, à medida que x diminui, tanto o erro absoluto E(x) quanto o erro relativo erel(x) tendem a zero. Isso confirma que a aproximação de primeira ordem 1-x é boa para valores pequenos de x, mas perde precisão quando x cresce (por exemplo, em x=0,5 o erro relativo é 25%).

Resposta

x=0,5: f=0,666667, aproximado 0,5, E=0,166667, erel=0,25
x=0,1: f=0,909091, aproximado 0,9, E=0,009091, erel=0,01
x=0,01: f=0,990099, aproximado 0,99, E=0,000099, erel=0,0001
x=0,001: f=0,999001, aproximado 0,999, E=0,000001, erel=0,000001
x=0,0001: f=0,99990001, aproximado 0,9999, E=0,00000001, erel=0,00000001

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