Mostre que
1(b^2+x^2)^5 / 2 approx 1b^5(1-52 x^2b^2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando lvert xrvertlllvert brvert,
1l(b^2+x^2r)^5/2 approx 1b^5l(1-52x^2b^2r)
O conteúdo aqui é a expansão em série binomial (ou Taylor) de (1+u)^alpha para u pequeno.

Passo 2

Escrevemos a função original de modo a expor o termo que será expandido:
1l(b^2+x^2r)^5/2 = l(b^2(1+tfracx^2b^2)r)^-5/2 = b^-5,l(1+ur)^-5/2,
onde definimos
u = x^2b^2

Passo 3

Para lvert urvert<1, a série binomial diz que
(1+u)^alpha = 1 + alpha,u + alpha(alpha-1)2,u^2 + cdots
Aqui temos alpha = -tfrac52 e vamos manter apenas o termo até ordem u (isto é, até x^2), pois u é pequeno.

Passo 4

Substituindo alpha=-tfrac52 e u=x^2/b^2 ficamos com
(1+u)^-5/2 approx 1 + l(-tfrac52r),u = 1 - 52,x^2b^2
Multiplicando por b^-5 obtemos
1l(b^2+x^2r)^5/2 approx b^-5l(1 - 52x^2b^2r)

Resposta

1l(b^2+x^2r)^5/2 approx 1b^5l(1-52x^2b^2r)

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