Aula 15, exercício 1 [B2]
Seja
. Encontre a solução da equação diferencial ordinária
que satisfaz as condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a solução da equação diferencial ordinária
que satisfaz as condições iniciais
e
.
Informações dadas:
- A equação diferencial é de segunda ordem homogênea com coeficientes dependentes de
. - As condições iniciais são
e .
O que é pedido:
- A solução
definida em algum intervalo contendo que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão dividindo por
(válido quando
, e aqui
para todo
):
Aqui o coeficiente de
é
. Vou encontrar uma solução particular simples e depois usar redução de ordem para obter a solução geral.
Passo 3
Tento uma solução do tipo
, com
constante (uma tentativa usual quando a equação envolve potências de
).
Calculo as derivadas:
Substituo na equação original
. Multiplicando
por
e somando:
Agrupando termos constantes e termos com
:
Note que
, então a expressão é
Para que isso seja identicamente zero para todo
precisamos de
, porque o fator entre colchetes não anula para todos
a menos que
. Assim
Portanto uma solução encontrada é
(Explicação rápida: encontrar uma solução explícita facilita achar a segunda solução por redução de ordem.)
Passo 4
Usarei a fórmula de redução de ordem para achar uma segunda solução linearmente independente. Para a equação
, se conhecemos
, então uma segunda solução pode ser obtida por
onde
neste caso.
Calculo
:
Então
Como
, temos
. Assim o integrando fica
Integro:
onde
. Tomando uma primitiva particular (constante
pode ser absorvida em constantes da solução geral), escolho a primitiva sem constante.
Portanto
Passo 5
A solução geral da equação é combinação linear das duas soluções independentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 6
Aplico a condição
. Como
e
, obtemos
Logo
.
Passo 7
Agora uso
. Preciso derivar a solução geral. Escrevo
Derivando (produto e cadeia), lembrando que
e
, obtemos
Como
, o primeiro termo é
. Portanto
Avalio em
. Tenho
,
e o segundo termo tem fator
então some em
. Assim
Como
pelas condições iniciais, concluímos
.
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtenho a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
onde
.