Aula 15, exercício 1 [B2]

Seja y=f(x). Encontre a solução da equação diferencial ordinária
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0
que satisfaz as condições iniciais f(0)=2 e f^{\prime}(0)=3.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a solução da equação diferencial ordinária
\left(1+x^{2}\right)y''+3x y'+y=0
que satisfaz as condições iniciais f(0)=2 e f'(0)=3.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de segunda ordem homogênea com coeficientes dependentes de x.
  • As condições iniciais são f(0)=2 e f'(0)=3.
O que é pedido:
  • A solução y=f(x) definida em algum intervalo contendo 0 que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão dividindo por (1+x^2) (válido quando (1+x^2)\neq0, e aqui (1+x^2)>0 para todo x):
y''+\frac{3x}{1+x^2}y'+\frac{1}{1+x^2}y=0.
Aqui o coeficiente de y' é P(x)=\dfrac{3x}{1+x^2}. Vou encontrar uma solução particular simples e depois usar redução de ordem para obter a solução geral.

Passo 3

Tento uma solução do tipo y=(1+x^2)^m, com m constante (uma tentativa usual quando a equação envolve potências de 1+x^2).
Calculo as derivadas:
y=(1+x^2)^m,
y'=2m x(1+x^2)^{m-1},
y''=2m(1+x^2)^{m-1}+4m(m-1)x^2(1+x^2)^{m-2}.
Substituo na equação original (1+x^2)y''+3x y'+y=0. Multiplicando y'' por (1+x^2) e somando:
(1+x^2)y''+3x y'+y=(1+x^2)^{m-1}\Big[2m(1+x^2)+4m(m-1)x^2+6m x^2+1+x^2\Big].
Agrupando termos constantes e termos com x^2:
(1+x^2)^{m-1}\Big[(2m+1) + (4m^2+4m+1)x^2\Big].
Note que 4m^2+4m+1=(2m+1)^2, então a expressão é
(1+x^2)^{m-1}(2m+1)\big[1+(2m+1)x^2\big].
Para que isso seja identicamente zero para todo x precisamos de 2m+1=0, porque o fator entre colchetes não anula para todos x a menos que 2m+1=0. Assim
2m+1=0 \quad\Rightarrow\quad m=-\tfrac{1}{2}.
Portanto uma solução encontrada é
y_1=(1+x^2)^{-1/2}.
(Explicação rápida: encontrar uma solução explícita facilita achar a segunda solução por redução de ordem.)

Passo 4

Usarei a fórmula de redução de ordem para achar uma segunda solução linearmente independente. Para a equação y''+P(x)y'+Q(x)y=0, se conhecemos y_1, então uma segunda solução pode ser obtida por
y_2 = y_1(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_1(x)^2}\,dx,
onde P(x)=\dfrac{3x}{1+x^2} neste caso.
Calculo \int P(x)\,dx:
\int \frac{3x}{1+x^2}\,dx = \frac{3}{2}\ln(1+x^2).
Então
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-\frac{3}{2}\ln(1+x^2)}=(1+x^2)^{-3/2}.
Como y_1=(1+x^2)^{-1/2}, temos y_1^2=(1+x^2)^{-1}. Assim o integrando fica
\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_1^2}=\frac{(1+x^2)^{-3/2}}{(1+x^2)^{-1}}=(1+x^2)^{-1/2}.
Integro:
\int (1+x^2)^{-1/2}\,dx=\operatorname{arcsinh}(x)+C,
onde \operatorname{arcsinh}(x)=\ln\!\big(x+\sqrt{1+x^2}\big). Tomando uma primitiva particular (constante C pode ser absorvida em constantes da solução geral), escolho a primitiva sem constante.
Portanto
y_2=(1+x^2)^{-1/2}\operatorname{arcsinh}(x).

Passo 5

A solução geral da equação é combinação linear das duas soluções independentes:
y=C_1 y_1 + C_2 y_2=(C_1+C_2\operatorname{arcsinh}(x))(1+x^2)^{-1/2},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 6

Aplico a condição y(0)=2. Como \operatorname{arcsinh}(0)=0 e (1+0)^{-1/2}=1, obtemos
y(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1 = 2.
Logo C_1=2.

Passo 7

Agora uso y'(0)=3. Preciso derivar a solução geral. Escrevo
y=(C_1+C_2 A(x)) (1+x^2)^{-1/2},\quad\text{onde }A(x)=\operatorname{arcsinh}(x).
Derivando (produto e cadeia), lembrando que A'(x)=(1+x^2)^{-1/2} e \dfrac{d}{dx}(1+x^2)^{-1/2}=-x(1+x^2)^{-3/2}, obtemos
y' = C_2 A'(x)\,(1+x^2)^{-1/2} + (C_1+C_2 A(x))\big(-x(1+x^2)^{-3/2}\big).
Como A'(x)=(1+x^2)^{-1/2}, o primeiro termo é C_2(1+x^2)^{-1}. Portanto
y' = C_2(1+x^2)^{-1} - x(C_1+C_2 A(x))(1+x^2)^{-3/2}.
Avalio em x=0. Tenho A(0)=0, (1+0)^{-1}=1 e o segundo termo tem fator x então some em 0. Assim
y'(0)=C_2.
Como y'(0)=3 pelas condições iniciais, concluímos C_2=3.

Passo 8

Substituindo C_1=2 e C_2=3 na solução geral, obtenho a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y=(2+3\operatorname{arcsinh}(x))(1+x^2)^{-1/2},
onde \operatorname{arcsinh}(x)=\ln\!\big(x+\sqrt{1+x^2}\big).

Resposta

y=(2+3\operatorname{arcsinh}(x))(1+x^2)^{-1/2}

Exercícios relacionados