Aula 14, exercício 1
Seja
. Considere a equação diferencial ordinária
(a) Encontre a solução dessa equação com valor inicial
.
(b) Explique por que essa equação não é linear.
(b) Explique por que essa equação não é linear.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede duas coisas:
- (a) Encontrar a solução que satisfaz a condição inicial
. - (b) Explicar por que essa equação não é linear.
Informações relevantes que recebemos:
Passo 2
Identificação do método: vamos tentar escrever a equação na forma
e ver se é separável. Uma equação é separável quando dá para reescrever como
ou seja, quando todas as partes que dependem de
ficam multiplicando
e todas as que dependem de
ficam multiplicando
. Se for separável, integrarmos cada lado separadamente para achar uma relação entre
e
.
Vou mostrar passo a passo como aplicar isso aqui.
Passo 3
Reescrevendo a equação isolando
:
Isso significa
Agora multiplicamos ambos os lados por
para separar variáveis:
Viu? Colocamos todos os
do lado esquerdo e todos os
do lado direito — a equação é separável.
Passo 4
Integrando ambos os lados:
Explico cada integral:
- À esquerda,
é integral direta de uma potência: . Aqui é constante de integração. - À direita, use o fato de que a derivada de
é . Assim
portanto
(Juntamos constantes depois.)
Passo 5
Igualando as integrais e reunindo constantes:
onde
é uma constante (resultado da combinação
). Multiplicando por
:
onde vou chamar de
a constante arbitrária final.
Passo 6
Aplicando a condição inicial
: quando
tem-se
. Substituindo na expressão:
logo
Passo 7
Com
obtemos
Tomando raiz quadrada:
A condição inicial
escolhe o sinal positivo (pois
dá
), então a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 8
Agora a parte (b): por que a equação não é linear?
Definição prática: uma equação diferencial de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma
onde
e
são funções que dependem somente de
(não de
). Numa equação linear,
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções de
— não aparecem produtos não-lineares como
nem termos como
.
No nosso caso a equação original é
O segundo termo
depende de
(aparece
), ou seja, não é da forma
. Outra forma de ver a não linearidade: multiplicando por
obtemos
onde surge o produto
, que é um termo não linear em
. Portanto a equação não pode ser escrita na forma
com
apenas funções de
, logo é não linear.