Aula 18 - Lei de Faraday (a magnitude da corrente de indução)

  1. No caso do loop quadrado que entra em uma região com campo magnético, visto em aula, obtivemos que a velocidade do loop, enquanto está parcialmente na região de B, era v(t)=v_{0} e^{-B^{2} L^{2} t / M R}. (a) Calcule a distância máxima que o loop pode percorrer nesse regime, \Delta x_{\text {max }}=\int_{0}^{\infty} v(t) d t. (b) Para os parâmetros usados em aula, L=10 \mathrm{~cm}, R= 4,5 \mathrm{~m} \Omega, M=5,4 \mathrm{~g}, B=1,0 \mathrm{~T}, calcule a velocidade inicial mínima que o loop tem que ter para conseguir entrar completamente na região com B. Resp: \Delta x_{\text {max }}=v_{0}\left(M R / B^{2} L^{2}\right), v_{0}>B^{2} L^{3} / M R=41,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}=148 \mathrm{~km} / \mathrm{h}!!!

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) calcular a distância máxima que o loop pode percorrer enquanto sofre o freio magnético, dada por \Delta x_{\text{max}}=\int_{0}^{\infty} v(t)\,dt; (b) usando os parâmetros numéricos fornecidos, encontrar a velocidade inicial mínima v_{0} necessária para o loop entrar completamente na região onde o campo magnético B está presente.
Informações fornecidas e relevantes: a velocidade do loop enquanto está parcialmente na região de B é
v(t)=v_{0}\,e^{-B^{2}L^{2}t/(M R)},
e os parâmetros numéricos são L=10\\ \mathrm{cm}, R=4,5\\ \mathrm{m}\Omega, M=5,4\\ \mathrm{g}, B=1,0\\ \mathrm{T}. (Note que 4,5\\ \mathrm{m}\Omega=4,5\times10^{-3}\\ \Omega e 5,4\\ \mathrm{g}=5,4\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.)

Passo 2

Breve aula / derivação física que justifica a forma exponencial de v(t) (útil para entender o que aparece nas contas).
  1. Fluxo magnético que atravessa o loop: se uma fração do quadrado de lado L estiver dentro do campo B, a área dentro do campo é A=Lx (onde x é a distância penetrada). O fluxo é \Phi=B A = B L x.
  2. Lei de Faraday: a força eletromotriz induzida tem magnitude \mathcal{E}=\left|\dfrac{d\Phi}{dt}\right| = B L \dfrac{dx}{dt}. Como \dfrac{dx}{dt}=v, temos \mathcal{E}=B L v. (Sinal de Lenz determina sentido da corrente, mas aqui usamos só a magnitude.)
  3. Corrente induzida: I=\dfrac{\mathcal{E}}{R}=\dfrac{B L v}{R}.
  4. Força magnética de frenagem: a corrente percorre a barra de comprimento L dentro do campo; a força sobre essa barra é F=I L B (magnitude), logo
F=\frac{B L v}{R}\cdot L B = \frac{B^{2}L^{2}}{R}\,v.
Essa força aponta contra o movimento (freia o loop).
5) Lei de Newton para a massa M: M\frac{dv}{dt}=-F=-\dfrac{B^{2}L^{2}}{R}v. Isso é uma equação diferencial linear simples:
\frac{dv}{dt} = -\frac{B^{2}L^{2}}{M R}\,v.
  1. Solução: separando variáveis e integrando obtém-se v(t)=v_{0}\exp\!\big(-\dfrac{B^{2}L^{2}}{M R}t\big), que coincide com a forma dada no enunciado. Aqui eu expliquei de onde surgem todos os termos e o significado de cada variável.

Passo 3

Cálculo de \Delta x_{\text{max}}=\int_{0}^{\infty} v(t)\,dt. Introduzimos a constante de tempo
\tau=\frac{M R}{B^{2}L^{2}},
porque o expoente pode ser escrito como -t/\tau. Assim
\Delta x_{\text{max}}=\int_{0}^{\infty} v_{0}e^{-t/\tau}\,dt.
A integral de uma exponencial decrescente é direta: uma primitiva de e^{-t/\tau} é -\tau e^{-t/\tau}. Avaliando de 0 a \infty:
\Delta x_{\text{max}}=v_{0}\Big[-\tau e^{-t/\tau}\Big]_{0}^{\infty}=v_{0}(\tau-0)=v_{0}\tau.
Substituindo \tau obtemos a forma final:
\Delta x_{\text{max}}=v_{0}\,\frac{M R}{B^{2}L^{2}}.
Explicação didática: fisicamente \tau é o tempo característico de frenagem; v_{0}\tau é a distância típica percorrida enquanto a velocidade decai até zero.

Passo 4

Condição para o loop entrar completamente na região do campo: o loop precisa percorrer uma distância L (o seu próprio comprimento) enquanto sofre o freio. Portanto exigimos
\Delta x_{\text{max}}\ge L.
Usando a expressão do passo anterior isso dá
v_{0}\,\frac{M R}{B^{2}L^{2}}\ge L.
Isolando v_{0},
v_{0}\ge \frac{B^{2}L^{3}}{M R}.
Essa é a expressão analítica da velocidade inicial mínima necessária. Interpretação rápida: se v_{0} for menor do que esse valor, o freio magnético para o loop antes dele entrar completamente.

Passo 5

Cálculo numérico com os parâmetros dados. Primeiro convertemos unidades para o SI usando vírgula decimal:
L=0,10\\ \mathrm{m},\quad R=4,5\times10^{-3}\\ \Omega,\quad M=5,4\times10^{-3}\\ \mathrm{kg},\quad B=1,0\\ \mathrm{T}.
Calculemos o denominador M R:
M R = (5,4\times10^{-3})(4,5\times10^{-3})=24,3\times10^{-6}=2,43\times10^{-5}.
O numerador para v_{0,\min} é B^{2}L^{3}=1,0^{2}\times(0,10)^{3}=0,001. Portanto
v_{0,\min}=\frac{0,001}{2,43\times10^{-5}}\approx41,152\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável:
v_{0,\min}\approx41,2\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para \mathrm{km/h} (multiplicar por 3,6):
v_{0,\min}\approx41,2\times3,6\approx148\\ \mathrm{km/h}.
Comentário encorajador: sim, é um valor grande — mostra como o freio magnético é eficiente em parar o loop.

Resposta

\Delta x_{\text{max}}=v_{0}\dfrac{M R}{B^{2}L^{2}}
v_{0}>\dfrac{B^{2}L^{3}}{M R}=41,2\\ \mathrm{m/s}=148\\ \mathrm{km/h}

Exercícios relacionados