(1,0 ponto) A equação a seguir, descreve a posição de uma onda transversal em relação ao x e t :
Y(x, t)=\left(5,5.10^{-5}\right) \operatorname{sen}\left(1,8.10^{3} \pi . x+6 \pi . t\right)
O Y e x estão em km e t em horas. Determine:
a) A amplitude em centímetros;
b) O comprimento de onda em centímetros;
c) A frequência;
d) Para x=3,8 \mathrm{~cm} e t=0,30 \mathrm{~s}, qual é o deslocamento transversal em centímetros?

Passo 1

O enunciado dá a função da onda transversal
Y(x,t)=\left(5,5\times 10^{-5}\right)\operatorname{sen}\!\left(1,8\times 10^{3}\pi\;x+6\pi\;t\right)
com as observações:
  • Y e x estão em \text{km}.
  • t está em \text{h} (horas).
    As perguntas são:
    a) Determinar a amplitude em centímetros.
    b) Determinar o comprimento de onda em centímetros.
    c) Determinar a frequência.
    d) Para x=3,8\\ \text{cm} e t=0,30\\ \text{s}, calcular o deslocamento transversal em centímetros.

Passo 2

Entendendo a amplitude e conversão de unidades (a):
  • A amplitude dada na função é \left(5,5\times 10^{-5}\right). Como Y está em \text{km}, essa amplitude está em \text{km}. Vamos chamar a amplitude de A:
A = 5,5\times 10^{-5}\\ \text{km}.
  • Para transformar \text{km} em \text{cm} usamos a relação \;1\\ \text{km}=10^{5}\\ \text{cm}.
  • Multiplicamos:
A_{\text{(cm)}} = 5,5\times 10^{-5}\times 10^{5}\\ \text{cm}=5,5\\ \text{cm}.
Explicação didática: multiplicar por 10^{5} porque cada quilômetro tem 1000 m e cada metro tem 100 cm, logo 1000\times 100=10^{5}.

Passo 3

Comprimento de onda (b) — relação entre número de onda k e \lambda:
  • A função está na forma \operatorname{sen}(kx+\omega t). O coeficiente que multiplica x é o número de onda k.
  • Do enunciado temos
k = 1,8\times 10^{3}\pi\quad(\text{unidade: rad por km}).
  • A relação entre k e o comprimento de onda \lambda é
k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}.
  • Substituindo:
\lambda=\frac{2\pi}{1,8\times 10^{3}\pi}=\frac{2}{1,8\times 10^{3}}=\frac{1}{900}\\ \text{km}.
  • Converter \lambda para centímetros: usando 1\\ \text{km}=10^{5}\\ \text{cm},
\lambda_{\text{(cm)}}=\frac{1}{900}\times 10^{5}\\ \text{cm}=\frac{100000}{900}\\ \text{cm}=\frac{1000}{9}\\ \text{cm}\approx 111{,}111\\ \text{cm}.
Didática: o número de onda indica quantos radianos a fase varia por unidade de comprimento; dividir 2\pi por k dá o comprimento de uma oscilação completa.

Passo 4

Frequência (c) — relação entre \omega e f:
  • O coeficiente que multiplica t é a frequência angular \omega. Do enunciado:
\omega = 6\pi\quad(\text{unidade: rad por hora}).
  • A relação entre \omega e a frequência f é
\omega = 2\pi f \quad\Longrightarrow\quad f=\frac{\omega}{2\pi}.
  • Calculando f em ciclos por hora:
f_{\text{(h}^{-1}\text{)}}=\frac{6\pi}{2\pi}=3\\ \text{h}^{-1}.
  • Se quisermos a frequência em hertz ( \text{s}^{-1}), convertemos horas para segundos: 1\\ \text{h}=3600\\ \text{s}. Então
f_{\text{(Hz)}}=3\\ \text{h}^{-1}\times\frac{1\\ \text{h}}{3600\\ \text{s}}=\frac{3}{3600}\\ \text{s}^{-1}=\frac{1}{1200}\\ \text{s}^{-1}\approx 8,333\times 10^{-4}\\ \text{Hz}.
Didática: \omega diz quantos radianos por unidade de tempo a fase avança; dividir por 2\pi dá o número de ciclos por essa unidade de tempo.

Passo 5

Preparar para avaliar Y em x=3,8\\ \text{cm} e t=0,30\\ \text{s} (d):
  • Atenção às unidades: a função exige x em \text{km} e t em \text{h}. Vamos converter.
  • Converter x:
x=3,8\\ \text{cm} = 3,8\times 10^{-5}\\ \text{km}
porque 1\\ \text{cm}=10^{-5}\\ \text{km}.
  • Converter t:
t=0,30\\ \text{s} = \frac{0,30}{3600}\\ \text{h}=8,333\ldots\times 10^{-5}\\ \text{h} \quad\left(\text{pois }1\\ \text{s}=\tfrac{1}{3600}\\ \text{h}\right).

Passo 6

Calcular a fase \varphi=kx+\omega t com os valores convertidos:
  • Primeiro, relembrando valores:
k=1,8\times 10^{3}\pi,\qquad \omega=6\pi.
  • Calcular kx:
kx=(1,8\times 10^{3}\pi)\times(3,8\times 10^{-5})=0,0684\pi\\ \text{rad}\approx 0,2149\\ \text{rad}.
(Detalhe do cálculo: 1,8\times 10^{3}\times 3,8\times 10^{-5}=6,84\times 10^{-2}=0,0684.)
  • Calcular \omega t:
\omega t=(6\pi)\times(8,333\ldots\times 10^{-5})=0,0005\pi\\ \text{rad}\approx 0,0015708\\ \text{rad}.
  • Somar para obter a fase:
\varphi=kx+\omega t\approx 0,2149+0,0015708\approx 0,21647\\ \text{rad}.

Passo 7

Calcular \operatorname{sen}(\varphi) e o deslocamento Y e converter para centímetros:
  • Avaliar o seno (ângulo em radianos):
\operatorname{sen}(\varphi)\approx \operatorname{sen}(0,21647)\approx 0,21478.
(Usei aproximação por série/valor numérico; é um ângulo pequeno, então seno é próximo do próprio ângulo.)
  • A amplitude em \text{km} é A=5,5\times 10^{-5}\\ \text{km}. Então
Y(x,t)=A\operatorname{sen}(\varphi)\approx 5,5\times 10^{-5}\times 0,21478\\ \text{km}\approx 1,1812\times 10^{-5}\\ \text{km}.
  • Converter para centímetros multiplicando por 10^{5}:
Y_{\text{(cm)}}\approx 1,1812\times 10^{-5}\times 10^{5}\\ \text{cm}\approx 1,1812\\ \text{cm}.
Arredondando de forma razoável (dados iniciais têm duas casas significativas), podemos reportar Y\approx 1,18\\ \text{cm}.

Resposta

5,5\\ \text{cm}
\dfrac{1000}{9}\\ \text{cm}\approx 111{,}111\\ \text{cm}
3\\ \text{h}^{-1} = \dfrac{1}{1200}\\ \text{s}^{-1}\approx 8{,}333\times 10^{-4}\\ \text{Hz}
1{,}18\\ \text{cm}

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