(1,0 ponto) A equação a seguir, descreve a posição de uma onda transversal em relação ao
e
:
O Y e x estão em km e t em horas. Determine:
a) A amplitude em centímetros;
b) O comprimento de onda em centímetros;
c) A frequência;
d) Para
e
, qual é o deslocamento transversal em centímetros?
a) A amplitude em centímetros;
b) O comprimento de onda em centímetros;
c) A frequência;
d) Para
Passo 1
O enunciado dá a função da onda transversal
com as observações:
-
e estão em . -
está em (horas).
As perguntas são:
a) Determinar a amplitude em centímetros.
b) Determinar o comprimento de onda em centímetros.
c) Determinar a frequência.
d) Parae , calcular o deslocamento transversal em centímetros.
Passo 2
Entendendo a amplitude e conversão de unidades (a):
- A amplitude dada na função é
. Como está em , essa amplitude está em . Vamos chamar a amplitude de :
- Para transformar
em usamos a relação - Multiplicamos:
Explicação didática: multiplicar por
porque cada quilômetro tem 1000 m e cada metro tem 100 cm, logo
.
Passo 3
Comprimento de onda (b) — relação entre número de onda
e
:
- A função está na forma
. O coeficiente que multiplica é o número de onda . - Do enunciado temos
- A relação entre
e o comprimento de onda é
- Substituindo:
- Converter
para centímetros: usando ,
Didática: o número de onda indica quantos radianos a fase varia por unidade de comprimento; dividir
por
dá o comprimento de uma oscilação completa.
Passo 4
Frequência (c) — relação entre
e
:
- O coeficiente que multiplica
é a frequência angular . Do enunciado:
- A relação entre
e a frequência é
- Calculando
em ciclos por hora:
- Se quisermos a frequência em hertz (
), convertemos horas para segundos: . Então
Didática:
diz quantos radianos por unidade de tempo a fase avança; dividir por
dá o número de ciclos por essa unidade de tempo.
Passo 5
Preparar para avaliar
em
e
(d):
- Atenção às unidades: a função exige
em e em . Vamos converter. - Converter
:
porque
- Converter
:
Passo 6
Calcular a fase
com os valores convertidos:
- Primeiro, relembrando valores:
- Calcular
:
(Detalhe do cálculo:
.)
- Calcular
:
- Somar para obter a fase:
Passo 7
Calcular
e o deslocamento
e converter para centímetros:
- Avaliar o seno (ângulo em radianos):
(Usei aproximação por série/valor numérico; é um ângulo pequeno, então seno é próximo do próprio ângulo.)
- A amplitude em
é . Então
- Converter para centímetros multiplicando por
:
Arredondando de forma razoável (dados iniciais têm duas casas significativas), podemos reportar
.