Para aumentar a dissipação de calor do aquecedor do Problema 3c, aletas circulares de alumínio com k=200 W /(m cdot K) tendo diâmetro de D=60 mm e espessura de t=1 mm são presas à superfície externa do tubo de aço inoxidável. O espaço entre as aletas é de S=2 mm, e portanto existe um total de 125 aletas ao longo do comprimento de 200 mm do elemento do aquecedor. O óleo de resfriamento, a Tinfty=25^circ C, preenche o espaço entre as aletas e permanece a he=200 W /(m^2 cdot K).
(a) Considerando o tubo e as aletas como uma superfície isotérmica, determine a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do aquecedor. Compare seus resultados com os obtidos no Problema 3c.
(b) Determine a temperatura na extremidade de uma aleta, Ta.

Passo 1

Beleza, vamos resumir: temos um tubo de aço inoxiderável com aletas circulares de alumínio (diâmetro D = 60 mm, espessura t = 1 mm, condutividade k = 200 W/m·K). As aletas estão espaçadas de S = 2 mm, de modo que cabem 125 em 200 mm de tubo. O óleo de resfriamento está a T∞ = 25 °C e o coeficiente de convecção h = 200 W/m²·K.
Conteúdo: troca de calor por convecção e superfície estendida (aletas), equação diferencial de um fin radial e solução com funções de Bessel.
O que precisamos:
  1. Parte (a): tratar tubo + aletas como “superfície isotérmica” a uma temperatura Tb, calcular Q′ (taxa de calor por comprimento) via Q′=h·A_total·(Tb–T∞).
  2. Parte (b): resolver a EDO do fin radial fino para achar T na borda (r = ra), ou seja Ta, usando solução geral θ®=A I0(mr)+B K0(mr), com m²=h/(k t).

Passo 2

  1. Área de convecção do tubo (por metro):
    Atube′=π·D  (m² por m de comprimento)
  2. Área total de aletas (por metro):
    – Cada aleta é um disco de raio R=D/2=0,03 m.
    – Área de convecção de ambos os lados de uma aleta: Af1=2·πR².
    – Há 125 aletas em 0,20 m ⇒ (125/0,20)=625 aletas por metro.
    ⇒ Afins′=625·(2·π·0,03²) = 625·(2·π·0,0009) ≃ 3,533 m²/m
  3. Área total (por metro):
    A′=Atube′+Afins′=π·0,06+3,533 ≃ 0,1885+3,533 ≃ 3,7215 m²/m
  4. Então, como supomos tubo + aletas isotérmicos a Tb,
    Q′=h·A′·(Tb–T∞)
    Q′=200·3,7215·(Tb–25) ≃ 744,3·(Tb–25) [W por m]
Se compararmos com o resultado de superfícies lisas no Problema 3c, que era
Q′liso= h·(πD)·(Tb–T∞)=200·0,1885·(Tb–25)=37,7·(Tb–25) W/m,
vemos que aletas elevam a dissipação em
Q′/Q′liso ≃ 744,3/37,7 ≃ 19,7 vezes!

Passo 3

Agora precisamos da EDO radial do fin fino (espessura t pequena):
  1. Definir θ®=T®–T∞.
  2. A equação fica
    1
    —————·d/dr [ r·dθ/dr ] – m²·r·θ = 0,
    r
    com m² = h/(k·t).
  3. Solução geral (funções de Bessel modificadas):
    θ®=A·I0(mr)+B·K0(mr).
  4. Condições de contorno:
    a) em r = r1 (=raiz do tubo) temos θ(r1)=Tb–T∞,
    b) em r = r2 (=R=0,03 m, ponta da aleta) a convecção impõe
    –k·t·(dθ/dr)|r2 = h·θ(r2).
  5. Aplicando essas BC’s determina-se A e B; daí a temperatura na ponta (r=r2) é
    Ta = T∞ + θ(r2),
    onde
    θ(r2)
    = ( I0(mr1)·K0(mr2) – K0(mr1)·I0(mr2) )
    —————————————————————————————————————×(Tb–T∞)
    [ K0(mr1)·I1(mr2) + I0(mr1)·K1(mr2) + (h/(mkt))·(I0(mr2)·K0(mr1) – K0(mr2)·I0(mr1)) ]
    (essa é a forma compacta – dá pra calcular numericamente se souber r1 e Tb).

Resposta

(a) Q′ = 200·[π·0,06 + 625·(2·π·0,03²)]·(Tb–25) ≃ 744,3·(Tb–25) W/m, ou cerca de 19,7× mais que sem aletas.
(b) A temperatura na ponta da aleta é
Ta = 25 °C + θ(r2),
com θ(r2) dado pela solução em Bessel acima.

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