Na ausência de forças dissipativas e forças externas, qual o trabalho necessário para aumentar a velocidade de um elétron de 0,6 \mathrm{c} até 0,8 \mathrm{c} ? Dado m_{e} \sim 0,5 \mathrm{MeV} / \mathrm{c}^{2}. (Resp: 0,542 \mathrm{MeV} )

Passo 1

O enunciado pede o trabalho necessário para acelerar um elétron de velocidade v_{1}=0,6\,c a v_{2}=0,8\,c na ausência de forças dissipativas. Isso envolve a teoria da energia cinética na relatividade restrita, onde o trabalho é igual à variação da energia cinética relativística.

Passo 2

Na relatividade, a energia cinética de uma partícula de massa de repouso m e velocidade v é
K(v) = \bigl(\gamma(v)-1\bigr)\,m\,c^{2},
onde
\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}
é o fator de Lorentz. O trabalho W para ir de v_{1} a v_{2} é
W = \Delta K = K(v_{2}) - K(v_{1}) = \bigl[\gamma(v_{2}) - \gamma(v_{1})\bigr]\,m\,c^{2}.

Passo 3

Calculamos os fatores de Lorentz para v_{1}=0,6\,c e v_{2}=0,8\,c:
\gamma(v_{1}) = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,6)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,36}} = \frac{1}{0,8} = 1,25,
\gamma(v_{2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,8)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,64}} = \frac{1}{0,6} \approx 1,6667.

Passo 4

Substituímos em
W = \bigl[\gamma(v_{2}) - \gamma(v_{1})\bigr]\,m\,c^{2}.
Como foi dado m_{e}\,c^{2}\approx 0,5\\ \mathrm{MeV}, temos
W = \bigl(1,6667 - 1,25\bigr)\times 0,5\\ \mathrm{MeV} = 0,4167 \times 0,5\\ \mathrm{MeV}.

Passo 5

Fazendo a multiplicação,
W \approx 0,2083\\ \mathrm{MeV}.

Resposta

O trabalho necessário é aproximadamente 0,21\\ \mathrm{MeV}.

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