Se a energia total relativística de uma partícula de massa de repouso m é o dobro de sua energia de repouso, qual o momento dessa partícula?
31. Uma partícula com massa de repouso de m=150 \mathrm{MeV} / \mathrm{c}^{2} é produzida em um ponto de um acelerador de partículas e os pesquisadores constaram que essa partícula foi produzida com uma energia cinética de 100 MeV . Essa mesma partícula foi produzida parada em laboratório e se constatou que seu tempo de vida é de 30 ns . Qual o tempo de vida da partícula produzida no acelerador nos referenciais da partícula e do laboratório? (Resp: 30 n s e 50 n s )

Passo 1

Resumo do enunciado:
A questão tem duas partes:
– (a) Se a energia total relativística de uma partícula de massa de repouso m é o dobro da sua energia de repouso, determinar o momento p.
– (b) Uma partícula com massa de repouso m tal que m c^2=150\,\text{MeV} é produzida com energia cinética K=100\,\text{MeV}. Sabendo que seu tempo de vida ao repouso (tempo próprio) é \tau_0=30\,\text{ns}, calcular o tempo de vida medido no referencial da partícula e no referencial do laboratório.
Conteúdo: relação energia–momento em relatividade e dilatação do tempo.

Passo 2

Para a parte (a) usamos a relação geral
E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4.
Como E é o dobro da energia de repouso, temos
E = 2\,m c^2 \quad\Longrightarrow\quad E^2 = 4\,m^2 c^4.
Substituindo em E^2 - m^2c^4 = p^2c^2
p^2 c^2 = 4\,m^2 c^4 - m^2 c^4 = 3\,m^2 c^4 \quad\Longrightarrow\quad p = \sqrt{3}\,m c.

Passo 3

Para a parte (b) primeiro achamos o fator de Lorentz \gamma. A energia total é
E = K + m c^2 = 100\,\text{MeV} + 150\,\text{MeV} = 250\,\text{MeV},
então
\gamma = \frac{E}{m c^2} = \frac{250\,\text{MeV}}{150\,\text{MeV}} = \frac{5}{3}.

Passo 4

O tempo de vida próprio (referencial da partícula) é dado:
\tau_0 = 30\,\text{ns}.
No laboratório, pela dilatação do tempo,
\tau = \gamma\,\tau_0 = \frac{5}{3}\times 30\,\text{ns} = 50\,\text{ns}.

Resposta

p = \sqrt{3}\,m c,
\tau_{\text{próprio}} = 30\,\text{ns},ó
\tau_{\text{lab}} = 50\,\text{ns}.

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