A autofunção de um elétron livre, ou seja, um elétron que não está sujeito a nenhuma força, é dada por
, onde
está em metros. Determine (a) o momento do elétron; (b) a energia total do elétron; (c) o comprimento de onda do elétron.
Passo 1
O enunciado dá a autofunção de um elétron livre e pede três coisas. Vou expor claramente o que foi dado e o que é pedido:
Dados:
onde
está em metros. Também temos as constantes:
Perguntas (o que o exercício pede):
(a) Determine o momento do elétron.
(b) Determine a energia total do elétron.
(c) Determine o comprimento de onda do elétron.
(a) Determine o momento do elétron.
(b) Determine a energia total do elétron.
(c) Determine o comprimento de onda do elétron.
Observação importante: a função do enunciado é
com
. Não vamos assumir nada sem explicar: em mecânica quântica há diferença entre ter um estado com momento bem definido (autofunção do operador momento) e ter um estado cuja energia é bem definida. Nas próximas etapas eu mostro e ensino tudo passo a passo.
Passo 2
Entendendo o conceito de momentum (momento) em mecânica quântica e como lidar com
.
- O operador momento unidimensional é
onde
é a unidade imaginária e
é a constante de Planck reduzida. Uma função
é autofunção de
porque ao aplicar
obtemos:
Ou seja,
tem momento bem definido igual a
.
- A função
pode ser escrita como combinação linear de duas exponenciais complexas (fórmula de Euler). Essa identidade é:
Portanto
é uma superposição de duas autofunções de momento: uma com momento
e outra com momento
. Isso implica que o estado não tem um único valor definido de momento; uma medida de momento dá
ou
(valores opostos), com probabilidades que podemos discutir.
Passo 3
Identificando o número de onda
e escrevendo a decomposição explícita para a nossa função.
Do enunciado temos
Escrevendo
como combinação de exponenciais:
Cada termo
é autofunção de
com autovalor
. Portanto os possíveis resultados de uma medida de momento são
e
.
Passo 4
Cálculo numérico do momento (módulo e sinais possíveis).
- Primeiro calculemos
:
- O módulo do momento é
Substituindo os valores:
Agora faço a multiplicação (mostrando o passo):
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
- Lembrete físico: como explicado, os resultados possíveis ao medir o momento são
Como a decomposição tem coeficientes de igual magnitude para
e
, as probabilidades (relativas) de obter
ou
são iguais. Observação: funções senoidais e exponenciais de tipo plane wave não são normalizáveis em todo o eixo real, mas como superposição os coeficientes relativos mostram que
e
têm mesma contribuição.
Passo 5
Cálculo da energia total do elétron (energia cinética, já que é livre).
- Para uma partícula livre clássica e quântica a energia total (somente cinética) é dada por
onde
é o momento e
é a massa do elétron.
- Usamos o módulo
(qualquer dos dois valores ou dá o mesmo ). Substituindo:
- Agora o cálculo numérico. Primeiro calculei
no Passo 4; uso esse valor para facilitar:
Então
Divide por
:
Logo
- Conversão rápida para elétron-volt (opcional, frequentemente útil):
. Assim
Passo 6
Cálculo do comprimento de onda do elétron e checagem com
.
- O número de onda
está relacionado com o comprimento de onda por
Substituindo
:
Calculando:
Arredondando:
- Checagem com a relação de De Broglie
. Usando o calculado e :
o que confirma consistência (mesmo resultado, bom sinal).
Passo 7
Resumo físico e comentários motivadores (rápido e simpático).
- Importante:
não é autofunção do operador momento, então o momento não é único — possíveis resultados são (com probabilidades iguais, qualitativamente). Contudo a energia, que depende de , é bem definida porque ambos os componentes têm o mesmo . - Você conseguiu! A parte técnica é decompor
e aplicar as definições de autovalor do operador momento e a fórmula da energia cinética. Respira, isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)