A autofunção de um elétron livre, ou seja, um elétron que não está sujeito a nenhuma força, é dada por \Psi(x)=\sin \left(2,5 \times 10^{10} x\right), onde x está em metros. Determine (a) o momento do elétron; (b) a energia total do elétron; (c) o comprimento de onda do elétron. \left(h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}, \hbar=h / 2 \pi, m_{e}=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}\right)

Passo 1

O enunciado dá a autofunção de um elétron livre e pede três coisas. Vou expor claramente o que foi dado e o que é pedido:
Dados:
\Psi(x)=\sin\!\bigl(2,5\times10^{10}\,x\bigr),
onde x está em metros. Também temos as constantes:
h=6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s},\qquad \hbar=\frac{h}{2\pi},\qquad m_e=9,1\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Perguntas (o que o exercício pede):
(a) Determine o momento do elétron.
(b) Determine a energia total do elétron.
(c) Determine o comprimento de onda do elétron.
Observação importante: a função do enunciado é \sin(kx) com k=2,5\times10^{10}. Não vamos assumir nada sem explicar: em mecânica quântica há diferença entre ter um estado com momento bem definido (autofunção do operador momento) e ter um estado cuja energia é bem definida. Nas próximas etapas eu mostro e ensino tudo passo a passo.

Passo 2

Entendendo o conceito de momentum (momento) em mecânica quântica e como lidar com \sin(kx).
  • O operador momento unidimensional é
\hat p = -\,\mathrm{i}\hbar\frac{d}{dx},
onde \mathrm{i} é a unidade imaginária e \hbar é a constante de Planck reduzida. Uma função \varphi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} é autofunção de \hat p porque ao aplicar \hat p obtemos:
\hat p\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} = -\mathrm{i}\hbar\frac{d}{dx}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} = \hbar k\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}.
Ou seja, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} tem momento bem definido igual a \hbar k.
  • A função \sin(kx) pode ser escrita como combinação linear de duas exponenciais complexas (fórmula de Euler). Essa identidade é:
\sin(kx)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}}{2\mathrm{i}}.
Portanto \sin(kx) é uma superposição de duas autofunções de momento: uma com momento \hbar k e outra com momento -\hbar k. Isso implica que o estado não tem um único valor definido de momento; uma medida de momento dá \hbar k ou -\hbar k (valores opostos), com probabilidades que podemos discutir.

Passo 3

Identificando o número de onda k e escrevendo a decomposição explícita para a nossa função.
Do enunciado temos
k=2,5\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Escrevendo \Psi(x) como combinação de exponenciais:
\Psi(x)=\sin(kx)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}}{2\mathrm{i}}.
Cada termo \mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}kx} é autofunção de \hat p com autovalor \pm\hbar k. Portanto os possíveis resultados de uma medida de momento são \hbar k e -\hbar k.

Passo 4

Cálculo numérico do momento (módulo e sinais possíveis).
  • Primeiro calculemos \hbar:
\hbar=\frac{h}{2\pi}=\frac{6,626\times10^{-34}}{2\pi}\\ \mathrm{J\,s}\approx 1,0545718\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • O módulo do momento é
p=\hbar k.
Substituindo os valores:
p=\bigl(1,0545718\times10^{-34}\bigr)\times\bigl(2,5\times10^{10}\bigr)\\ \mathrm{kg\,m/s}.
Agora faço a multiplicação (mostrando o passo):
p\approx 1,0545718\times2,5\times10^{-34+10}=2,6364295\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
p\approx 2,64\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
  • Lembrete físico: como explicado, os resultados possíveis ao medir o momento são
p=+\hbar k\quad\text{ou}\quad p=-\hbar k.
Como a decomposição tem coeficientes de igual magnitude para \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} e \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx}, as probabilidades (relativas) de obter +\hbar k ou -\hbar k são iguais. Observação: funções senoidais e exponenciais de tipo plane wave não são normalizáveis em todo o eixo real, mas como superposição os coeficientes relativos mostram que +\hbar k e -\hbar k têm mesma contribuição.

Passo 5

Cálculo da energia total do elétron (energia cinética, já que é livre).
  • Para uma partícula livre clássica e quântica a energia total (somente cinética) é dada por
E=\frac{p^{2}}{2m_e},
onde p é o momento e m_e é a massa do elétron.
  • Usamos o módulo p=\hbar k (qualquer dos dois valores +\hbar k ou -\hbar k dá o mesmo p^2). Substituindo:
E=\frac{(\hbar k)^{2}}{2m_e}.
  • Agora o cálculo numérico. Primeiro calculei p no Passo 4; uso esse valor para facilitar:
p\approx 2,6364295\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
Então
p^{2}\approx (2,6364295\times10^{-24})^{2}\approx 6,951382\times10^{-48}\\ \mathrm{kg^{2}m^{2}/s^{2}}.
Divide por 2m_e:
2m_e=2\times9,1\times10^{-31}=1,82\times10^{-30}\\ \mathrm{kg}.
Logo
E\approx\frac{6,951382\times10^{-48}}{1,82\times10^{-30}}\\ \mathrm{J}\approx 3,82\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
  • Conversão rápida para elétron-volt (opcional, frequentemente útil): 1\\ \mathrm{eV}=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Assim
E\approx\frac{3,82\times10^{-18}}{1,602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 23,8\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Cálculo do comprimento de onda do elétron e checagem com p=h/\lambda.
  • O número de onda k está relacionado com o comprimento de onda \lambda por
k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=2,5\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}:
\lambda=\frac{2\pi}{2,5\times10^{10}}\\ \mathrm{m}.
Calculando:
\lambda\approx\frac{6,2831853}{2,5\times10^{10}}\\ \mathrm{m}\approx 2,5132741\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
\lambda\approx 2,51\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Checagem com a relação de De Broglie p=\dfrac{h}{\lambda}. Usando o p calculado e h:
\lambda=\frac{h}{p}\approx\frac{6,626\times10^{-34}}{2,6364295\times10^{-24}}\\ \mathrm{m}\approx 2,51\times10^{-10}\\ \mathrm{m},
o que confirma consistência (mesmo resultado, bom sinal).

Passo 7

Resumo físico e comentários motivadores (rápido e simpático).
  • Importante: \Psi(x)=\sin(kx) não é autofunção do operador momento, então o momento não é único — possíveis resultados são \pm\hbar k (com probabilidades iguais, qualitativamente). Contudo a energia, que depende de p^{2}, é bem definida porque ambos os componentes têm o mesmo p^{2}.
  • Você conseguiu! A parte técnica é decompor \sin(kx) e aplicar as definições de autovalor do operador momento e a fórmula da energia cinética. Respira, isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova.

Resposta

(a) p= \pm \hbar k = \pm 2,64\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
(b) E=\dfrac{(\hbar k)^{2}}{2m_e}\approx 3,82\times10^{-18}\\ \mathrm{J} \approx 23,8\\ \mathrm{eV}.
(c) \lambda=\dfrac{2\pi}{k}\approx 2,51\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

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